分数阶微分方程是非整数阶常微分方程的泛化。这种泛化不仅仅是数学上的变化而且在科学与工程的很多领域，例如，粘弹性学、电路学和单神经元模拟等有很多应用。分数阶微分方程在一定程度上为了刻画一些不能被整数阶微分方程定义的现象。　　在物理学领域，例如黏弹性学，扩散学，控制理论，弛豫理论和工业模拟试验中，分数阶微积分和分数阶微分方程均有着不同程度的应用。近年来通过非线性分析的手段，例如不动点理论（例如Leray-Schauder非线性变换），拓扑度理论（重合度理论），比较学方法（例如上下解方法、单调迭代法），非线性分数阶微分方程的解的存在性和多解性问题有了突破性进展。然而，上述方法对于讨论分数阶微分方程边界值问题有着诸多缺陷，同时，与其等价的积分方程并不易获取。因此，我们需要其它更加有效的方法来研究此类问题。　　本文运用变分方法和临界点理论分别对非光滑的分数阶微分方程和光滑的分数阶微分方程的解的存在性进行了研究，并且分别对光滑和非光滑方程给出两个重要结论。具体工作包括：　　首先，利用山路定理和变分的方法对光滑的分数阶方程的特征值问题进行了研究，获得了一些新的解的存在性结果并且给出了论证过程。　　其次，应用了山路定理以及非光滑临界点理论对具有分数阶导数的半变分不等式问题的特征值进行了系统的研究，获得了一些新的解的存在性结果并且给出了论证过程。