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设m<,0>,m<,1>,…为不小于2的正整数,则任给的非负整数n有如下的唯一表示n=a<,0>+a<,1>m<,0>+a<,2>m<,0>m<,1>+…+a<,t>m<,0>m<,1>…m<,t-1>其中0≤a<,i>≤m<,i>-1(i=0,1,…,t,),a<,t>≠0.我们令f<,i>(m)为定义在集合{0,1,2,…,m<,i>-1}上的算术函数且f<,i>(0)=0,(i=0,1,…).定义(公式略)为数n的广义数码和函数.该文给出广义数码和函数幂的平均值的渐近公式.我们还研究了数的十进制表示法的一个有趣性质.任给的自然数n,有如下唯一表示n=a<,0>+a<,1>10+a<,2>10<2>+…+a<,m>10该文给出了算术函数为最终有限循环函数的充要条件.定理2.设f(n)为定义在自然数集上的算术函数,f<,1>(n)=f(n),f<,k>(n)=f(f<,k-1>(n)),则f(n)为最终有限循环函数的充要条件为:存在自然数n<,0>>0,使得当n>n<,0>时,存在k<,n>,f<,kn>(n)
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