神经网络的许多应用取决于神经网络的稳定性，因此关于神经网络的稳定性研究具有非常重要的理论和现实意义。不仅如此，稳定性的研究还可以为其它性质，如同步性，的研究提供非常重要的理论依据。时滞和脉冲是在神经网络动力学中普遍存在的现象，且对神经网络的动力学结构性质，如稳定性，振动性等，产生重要的影响。故而，对于用微分方程形式所描述的神经网络模型，迫切需要发展新的数学工具来对其进行分析。　　 脉冲泛函微分方程的稳定性理论为这一类问题提供了数学工具。其核心是将Lyapunov直接法推广到同时含有脉冲和时滞的问题中。泛函微分方程研究的是带有滞后现象的动力系统，即变化规律不仅依赖于当前状态，而且依赖于过去的状态。脉冲微分方程研究的是具有瞬时突变现象(通常是分段连续)的微分系统。这两门学科分支分别得到过深入的研究，具有丰富的理论结构和大量结论。近年来，对脉冲和时滞共存的微分方程研究也取得了很大的进展，从而为这种类型方程所刻画的神经网络模型稳定性研究提供了不断增长的理论资源。　　 与一般动力系统模型一样，脉冲时滞神经网络模型稳定性的研究主要采取Lyaounov直接法，其特点是构造一个Lyapunov泛函或Lyapunov函数V，不需要求出方程的解，而直接分析V函数的性质来分析方程的稳定性，渐进稳定性，等等。为此，还需要运用微分不等式，矩阵不等式等技巧。　　 早期的关于脉冲泛函微分方程的结果包括Anokhin，Bainov，Covachev和Stamova，Gopalsamy，Zhang等人的工作。尽管具有广泛的应用前景，由于理论和技术上的障碍，脉冲泛函微分方程理论的发展在最初是相对缓慢的。时滞和脉冲的存在导致需要对原有的研究工具引入相应的改进。许多性质，如存在性，连续性，稳定性都会因为脉冲的存在而改变。　　 在脉冲泛函微分方程领域，对于最近的研究具有最深刻影响的是Lyapunov直接法。这一方法的显著优势在于它可以在不求出解的情况下研究解的定性性质(稳定性，振动性等等)。　　 在利用Lyapunov第二法研究泛函微分方程的稳定性问题时，主要有两种方法。第一种称为Lyapunov函数法。如果把Lyapunov定理直接用到泛函微分方程稳定性研究中，在需要确定Lyapunov函数的导数符号时将导致很大的困难。因此许多作者提出，在研究这一类系统时，Lyapunov函数的导数应该用系统积分曲线的最小子集来估计。这一技巧被称为Lyapunov-Razumikhin技巧。　　 Krasovskii从泛函分析的角度出发，提出了这个问题的另一个解决方法。他用Lyapunov泛函来替代Lyapunov函数。这一方法也得到了广泛的应用。　　 Gurgulla和Perestyuk最早地将Lyapunov直接法运用到了脉冲微分方程的研究中。但是，对Lyapunov函数连续性的要求极大地限制了Lyapunov直接法在脉冲方程问题中的应用。由于脉冲微分方程的解是间断连续函数，因此需要引入相应的，具有第一类不连续点的Lyapunov函数。由此通过Lyapunov直接法解决了脉冲微分系统的一些基本问题。　　 本文的研究方法是：从脉冲泛函微分方程的一般理论出发，研究具体的神经网络方程解的稳定性。首先简要介绍了神经网络研究中几种基本的模型和其数学结构，接着总结和介绍了脉冲泛函微分方程稳定性的基本理论和定理。在后面三章中，本文作者分别用不同的方法对三种神经网络方程的稳定性进行了研究。　　 (1)用矩阵不等式，结合微分不等式的方法研究了脉冲时滞Hopfield模型的全局指数稳定性，得到了一个新的判别条件。　　 (2)利用Lyapunov-Razumikhin型定理研究脉冲时滞Cohen-Grossberg方程的全局指数稳定性，Razumikhin型定理是泛函微分方程的核心定理之一，特点是可以使得我们只需构造形式极为简单的Lyapunov函数，而不是复杂的Lyapunov泛函，因此被应用于时滞Hopfield模型和细胞神经网络模型之中。本文将其应用到了更为“非线性化”的Cohen-Grossberg模型中，得到了一个新的判别条件。　　 (3)关于非自治泛函微分系统的渐进稳定性，Hatvani建立了一系列基于勒贝格积分和度的理论以精确地刻画其条件，本文将其中一个定理推广到了带脉冲的泛函微分系统上。随后，用这个新的定理，研究了一个脉冲时滞细胞神经网络的渐进稳定性，得到了一个新的判别条件。