【摘 要】
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本文主要研究给定平均曲率问题解的全局结构.主要内容分为三个部分:研究球域上给定平均曲率问题径向正解、变号解的全局结构和一维Minkowski-曲率方程Dirichlet问题正解的精确个数及其极解;研究Euclidean和Minkowski空间中平均曲率算子特征值问题的谱结构;研究非线性椭圆Neumann系统非负非减径向解的全局结构和一维Minkowski-曲率方程Neumann问题正解的存在性和精
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本文主要研究给定平均曲率问题解的全局结构.主要内容分为三个部分:研究球域上给定平均曲率问题径向正解、变号解的全局结构和一维Minkowski-曲率方程Dirichlet问题正解的精确个数及其极解;研究Euclidean和Minkowski空间中平均曲率算子特征值问题的谱结构;研究非线性椭圆Neumann系统非负非减径向解的全局结构和一维Minkowski-曲率方程Neumann问题正解的存在性和精确个数.主要结果如下:（一）运用单边全局分歧理论和连通分支取极限的思想建立了 Dirichlet问题div（φN（▽u））+ λf（｜x｜,u）=0,x ∈ B（R）；u = 0,x ∈ dB（R）径向正解的全局结构,其中B（R）= {x ∈ RN:|:x|<R}和φN（y）=y/（?）1-｜y｜2,y ∈ RN.所获结果依赖于非线性项f（r,s）在s = 0处的渐近行为.首先,通过全局分歧理论,在环域上建立给定平均曲率问题径向正解连通分支的存在性.然后,通过环域上获得的连通分支来构造球域上给定平均曲率问题径向正解连通分支的存在性.值得注意的是,径向正解的全局结构对数值解的计算非常有用.这些结果推广、改进并统一了 Bereanu,Jebelean 和 Torres[J.Funct.Anal.2013]和 Coelho,Corsato 和 Rivetti[Topol.Methods Nonlinear Anal.2014]的相应结果.此外,运用单边全局分歧理论以及连通分支取极限的思想也获得了上述Dirichlet问题径向变号解的全局结构.我们的结果部分地改进了 Capietto,Dambrosio 和 Zanolin[Ann.Mat.Pura Appl.（4）2001]的主要结果.（二）考虑拟线性Dirichlet问题{-(u’（x）（?）1+k（u’（x））2=λu（x）,0<x<1,u（0）= u（1）= 0,其中κ ∈（-∞,0）∪（0,∞）是一个常数.证明了上述拟线性Dirichlet问题的任意非平凡解u在[0,1]上只有有限多个简单零点,u取正值和负值图像的形状均相同,并且第一个图像的形状关于它的区间中点对称.同时,也描述了该问题非平凡解集的全局结构.所得到的一些结果补充了 Cano-Casanova,Lopez-Gomez 和 Takimoto[J.Differential Equations,2012]的相应结果,他们仅获得了 κ>0时,上述问题正解连通分支的存在性.（三）首先运用时间映像的方法研究拟线性两点边值问题{-（φ1（u’））’= λf（u）,x ∈（-L,L）,u（-L）= u（L）= 0正解的精确个数和分歧图.随后,假设非线性项f（x,s）关于s单调递减,我们构造出有序的上下解,通过单调迭代技术获得了 一维Minkowski-曲率方程Dirichlet问题{-(φ1（u’）’ = f（x,u）,x ∈（0,1）,u（0）=u（1）= 0的极解.（四）首先考虑椭圆系统{-Δu + u = α（｜x｜）f（u,u）,x ∈ BR,-Δu + u = β（｜x｜）g（u,u）,x ∈ BR,（?）u =（?）vu = 0,x ∈（?）oBR的径向正解,其中α,β 都是径向非减的权函数,f,g关于每一个变元都是非减的.运用分歧理论获得了上述问题至少有一个非减非平凡的径向解.我们的结果是最优的,并且补充了 Bonheure,Serra和Tilli[J.Funct.Anal.2013]的主要结果之一.接着,受到半线性半正Neumann两点边值问题正解存在性结果的启发,基于对时间映像的估计,研究了一维Minkowski-曲率方程Neumann问题{-（φ1（u’））’ = λf（u）,x ∈（0,1）,u’（0）= u’（1）= 0多个正解的存在性,并且首次获得了该问题多个正解的存在性以及正解的精确个数.
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