小波变换是一个非常有用的工具.它将函数.f的信息转化为不同频率的分量信息,通过研究这些分量的信息来得到函数f的性质.目前主要有连续小波变换和离散小波变换两种形式.离散小波通常可以构成L2（Rd）里的框架,称为小波框架.小波框架是框架理论研究的重要方向.框架理论是Duffin和：Schaeffer[1]在1952年研究非调和Fourier级数时引入的,1986年由Daubechies, Grossman和Meyer[2]重新研究,并引起了学者的兴趣.框架有很多很好的性质使得它在函数空间的刻画,信号处理和其它领域有着重要的应用.对于框架理论和它的应用,请参考[3,4,5,6,7,8,9].由于框架理论在现代时频分析里扮演着重要角色,它在过去的20年里快速发展,尤其是小波框架理论和Gabor框架理论.在研究Gabor框架时,Ramanathan和Steger[10]引入了齐次逼近性质这个很重要的工具.在研究小波框架时,齐次逼近性质也是很重要的,并在实际中很有用,因为小波框架的齐次逼近性质意味着用有限项重构一个函数所产生的误差在时间-尺度平移下是不变的.文章[11，12,13,14，15,16]研究了小波框架的齐次逼近性质，本文第一章主要研究连续小波变换的齐次逼近性质.在第一章第一节里，我们首先给出一维情况下连续小波变换的齐次逼近性质.我们指出每一对允许性小波在L2（R）意义下具有齐次逼近性质,即定理1若ψ1,ψ2∈L2（R）是允许性小波且Cψ1,ψ2≠0,则（ψ1,ψ2）在L2（R）中具有齐次逼近性质.但是在逐点收敛意义下齐次逼近性质一般是不成立的.因此紧接着,我们给出逐点意义下齐次逼近性质成立的一个充分条件,结论如下：定理2设ψ1,ψ2,xψ1,xψ2∈L1（R）,ψ2可导且ψ2′∈L2（R）,ψ1（0）=0=ψ2（0）.若有界函数f是指数αHolder连续,0<α≤1,则对任意ε,ε>0,存在常数A2>A1>0使得对任意的（s,t）∈g,这里|s|>s0，x∈R, A2′>A2和0<A1′≤A1,我们有这个条件不仅依赖于小波,还依赖重构的函数.同时,对于一维情况,第一节还给出了逐点意义下齐次逼近性质成立的充要条件：定理3设f∈L2（R）∩L1（R）是连续函数,ψ1,ψ2∈L1（R）,ψ2可导且ψ2′∈L2（R）, xψ2∈L1（R）和ψ1（0）=0=ψ2（0）则下面的条件等价：（ⅰ）.有某个x0∈R,使得对任意的ε>0,都存在A2>A1>0使得（ⅱ）.对任意ε>0,存在A2>A1>0使得（ⅲ）.f和ψ1（ω）ψ2（ω）+ψ1（-ω）ψ2（-ω）在R\{0}上具有紧支集.这说明了逐点意义下齐次逼近性质成立当且仅当小波和重构的函数f的Fourier变换在R\{0}上具有紧支集.在第一章第二节中,我们得到了一个关于小波逆变换的结果,这个结果改进了Daubechies[4],Holschneider和Tchamitchain[17]的相关结果.定理4令（ψ1,ψ2）是一对允许性小波且Cψ1,ψ2％≠0则对任意f∈L2（R2）,而且，若f∈L2（Rd）,则然后,第一章第三节利用第二节的相关结果研究了高维小波变换的齐次逼近性质.我们指出在一维情况下成立的结果一般在高维也可以得到类似结论,但当维数大于1时,上述充要条件已经不再是充要条件,而只是充分条件,这与一维的情况不同,具体见这节的反例.小波框架的齐次逼近性质使得用有限项重构一个函数所产生的误差在时间-尺度平移下是不变的,但要确定一列点和一个函数所构成的是小波框架并不容易.因此在第二章里,我们考虑用小波逆变换的黎曼和来近似原函数,即考虑当p→1+,q→0+时,级数是否收敛到函数f,这里（首先我们研究了当分析小波和重构小波相同时,即ψ1=ψ2时,黎曼和收敛的必要条件,得到了如下结果：定理5令ψ∈L2（Rd）满足允许性条件.设对任意f∈L2（Rd）,存在常数pf>1和qf>0使得当1<p<pf,0<q<gf时,Sp,qf有定义且极限在L2（Rd）意义下存在.则我们有：（i）.对任意1<p≤2，0<q≤1,Sp,q在L2（Rd）上有定义且存在常数M<+∞使得（ii）.存在常数M<∞使得对任意1<p≤2和是以M为上界的Bessel序列.紧接着,对于大量的小波函数,我们指出当采样密度趋近于无穷大时,黎曼和收敛到原函数.具体结果如下：定理6令ψ1,ψ2∈F1（Rd）满足允许性条件且Cψ1,ψ2≠0则对任意f∈L2（Rd）,Sp,qf有定义且有当f属于F1（Rd）时,ψ2的选择可以更加自由.定理7令ψ1∈F1（Rd）和ψ2∈L2（Rd）满足允许性条件且Cψ1,ψ2≠0则对任意f∈F1（Rd）,其中级数在L2（Rd）里收敛最后我们考虑了有限黎曼和的收敛性.有限的黎曼和定义为这里定理8令ψ1,ψ2∈F2（Rd）满足允许性条件且Cψ1,ψ2≠0则对任意f∈L2（Rd）,两个都是在L2（R在）里的极限.最后一章研究的是框架以及framing的扩展理论Hilbert空间框架的扩展理论是从几何的角度来分析Parseval框架和最一般的框架.框架的扩展理论可以简化框架理论里很多结果的证明,同样可以给出很多框架的新结果和应用,详细见[7].文章[18]推广了框架的概念,引入了framing的概念,并相应的得到了framing扩展理论.一般情况下Hilbert空间的framing扩展空间是Banach空间,不一定是Hilbert空间,这是framing和框架不同的地方.本文第三章主要研究framing的扩展空间是Hilbert空间的充要条件.第三章第一节回忆了框架和framing的扩展理论,第二节里给出了framing的扩展空间是Hilbert空间的充要条件,即定理9令{xi,yi）i∈N是Hilbert空间H的非零framing,（K,{ui）i∈N)是{xi,yi)i∈N的一个framing模型.则Banach空间K是Hilbert空间当且仅当存在αi,βi∈C,i∈N,其中αiβi=1使得（αixi）i∈N和{βiyi}i∈N是Hilbert空间H的对偶框架.然后由此结果,给出一类有Hilbert扩展空间的framing.定理10令{xi,yi)i∈N是Hilbert空间H的非零framing若infi∈N‖xi‖·‖yi‖>0,则我们可以找到满足αiβi=1的αi,βi∈C,i∈N使得{αixi)i∈N和{βiyi}i∈N是hilbert空间H的对偶框架.进而{xi,yi}i∈N有一个Hilbert扩展空间.最后一节给出了两个具体的framing例子.