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二阶常微分方程广泛应用于各种领域,它的周期解问题一直是微分方程研究领域的重要课题.由于在物理学和力学等许多领域中共振现象很常见,因此在共振情形下微分方程的周期解问题备受关注.本文主要研究了二阶非线性常微分方程的周期解的多重性.本文应用变分法和拓扑度,得到了跨共振情形的二阶非线性常微分方程的周期解的多重性结果.考虑二阶非线性常微分方程的周期边值问题然,问题(1)有平凡解x=0.本文主要研究问题(1)的非平凡周期解.在共振问题中,线性周期边值问题的特征值λ称为问题(1)的共振点.最近几十年,人们对微分方程共振问题周期解的存在性和多重性做了许多研究.其中Fabry和Fonda, Omari和Zanolin研究了问题(1)满足双共振条件,即和一些其他条件时,他们证明了问题(1)存在周期解.Papageorgiou和Staic,苏加宝和赵雷嘎研究了问题(1)满足双共振条件(3)和Landesman-Lazer型条件以及条件(6)或f’(t,0)<0且f∈C1条件时,他们证明了问题(1)有至少两个非平凡周期解.最近,Barletta和Papageorgiou研究了在无穷远处和零点处都发生共振的情形下,应用变分法Morse理论,在一定条件下证明了问题(1)有六个非平凡解.一般都要求比率在任意两个相邻的共振点之间.本文将在比率E无穷远处可能跨越任意两个相邻共振点研究问题(1)的非平凡周期解的多重性.本文不要求比率f(t,s)夹在任意两个相邻的共振点之间.从而比率在无穷远处可能跨越任意两个相邻共振点k2与我们对非线性项f赋予了定理1中的条件(4)和(5)来替换Landesman-Lazer条件和双共振条件(3),证明了问题(1)有至少两个非平凡解.进一步,在定理2中我们将(4)和(5)替换成更强一些的条件(7)和(8),证明了问题(1)有更多的非平凡解.我们主要应用的方法是变分法和拓扑度理论.引入Sobolev空间定义为x是绝对连续的其上的内积和范数分别为定义泛函I因此,求问题(1)的弱解x等价于寻求泛函I在H([0,2π])中的临界点我们的主要结果是下面的定理.定理1设f∈C([0,2π]×R,R)且满足下面条件：(i)存在常数η1,M,M1>0,使得对a.e.t∈[0,2π]和某个k∈Z+成立,其中(iii)存在常数s1>0,使得则问题(1)有至少两个非平凡解,其中一个是非负解,另外一个是非正解.面的条件成立：(i)存在常数使得(ⅱ)存在两个数p,q>0,使得对和某个k∈Z+成立.则我们得到下面的结果：(ⅰ)或k是奇数,则问题(1)有至少两个非平凡解；若k是偶数,则问题(1)有至少三个非平凡解,其中一个是非负解,另外一个是非正解；(ⅱ)若泛函I的所有临界点都是非退化的,则问题(1)有至少四个非平凡解；(ⅲ)若g∈C1(R,R),并且存在β>0,使得对(?)s∈R成立,则问题(1)有至少四个非平凡解.