双曲几何由Gauss、Bolyai和Lobachcvskii共同创立，它在复变量和共形映照、拓扑学和群论等一些数学分支中具有广泛的应用。对双曲多边形的双曲面积的研究是函数论领域中的一个基本问题，且它与单叶函数论、拟共形映照理论和调和映照理论都有紧密的联系。函数空间理论是复分析中的另一个重要研究分支，指定函数空间中的积分增长估计问题是函数空间理论的重要研究课题。　　本文将着重研宄在双曲度量意义下，双曲三角形、Lambert四边形和Sa.cc.heri四边形的双曲面积和双曲几何量的估计，并考虑Blaschkc乘积和内函数的导数在加权Borgman空间中的积分增长估计问题和加权Borgman空间中调和映照的系数估计问题。　　第一，研究了上半平面和单位圆盘中双曲三角形及双曲多边形的双曲面积并且刻画了单位圆中Lam bcrt四边形和Saccheri四边形的一些双曲几何特征。利用三角形的顶点坐标替代其内角，得到了双曲三角形的一个新的双曲面积公式，再根据得到的公式给出上半平面中L a m b e r t四边形和Sa.cc.heri四边形的双曲面积。　　第二，Fricain和Mashreghi研宄了 Hardy空间中Blaschkc乘积的导数的积分增长估计问题；对上述问题，Aleman和Vukotid近期在加权Bergman空间中开展研宄。本文研宄Blaschkc乘积的导数在权函数为对数型正规函数的加权Bergman空间中的积分增长估计问题；借助Frostman定理将该结论推广到内函数情形。　　第三，系数猜想是调和映照理论的重要研究问题，有界调和映照的系数估计已有一些较好结果；在加权调和Bergman空间中的相应问题也引起关注。本文研宄了平均面积积分与加权调和Borgman空间的关系，从而得出了调和映照属于加权调和Borgman空间的充分必要条件；并给出调和映照在加权Bragmaii空间中的系数估计，且在p= cx;：，w(z)=1时结果精确，推广了陈少林、Ponnusamy和王仙桃的结果。