【摘 要】
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本文主要研究在空间Cn内区域Ω上的一类特殊的退化椭圆偏微分方程解的刚性与正则性问题.设Ω是强伪凸域.u=∑ni,j=1 uij-dzi()d(z)j是由严格多重次调和函数诱导的K(a)hler度
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本文主要研究在空间Cn内区域Ω上的一类特殊的退化椭圆偏微分方程解的刚性与正则性问题.设Ω是强伪凸域.u=∑ni,j=1 uij-dzi()d(z)j是由严格多重次调和函数诱导的K(a)hler度量.△u是关于度量u的Laplace-Beltrami算子.当u是完备度量时,这是一个退化椭圆算子.首先,研究了调和函数的刚性问题.即满足Dirichlet边界值问题解的刚性问题.当Ω为单位球时,我们对旋转对称的位势函数u进行刻画,得到在K(a)hler度量u=∑ni,j=1 ui(j)dzi()d(z)j意义下,Graham型刚性定理成立的条件.换句话说,如果h∈Cn((B)n)是u-调和的,那么h在Bn上一定是多重调和的.
当区域Ω不是单位球时,刚性问题变得很复杂.原因研究单位球所用的工具不再适用于这种对称性较少的区域.CR几何中有一个典型的区域,其边界是实椭球面.我们得到一些关于这种区域的刚性的结论.
其次,研究了非齐次退化椭圆偏微分方程
Δgu=f,z∈Bn,其中Δg是Laplace-Beltrami算子,解的正则性.我们给出这个方程解的渐近展开式.
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