【摘 要】
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由于贝叶斯方法具有不确定量化的优点,因此该方法被广泛地应用于求解反问题.贝叶斯方法的思想是把未知量的给定先验信息和已知的观测数据结合起来,通过贝叶斯公式实现对后验信息的估计.因此,先验信息的选取对后验结果的估计有着极大的影响.由此产生的新的研究方向,也即是如何选取先验信息来改善反演结果的研究方向,极大地推进了贝叶斯方法的发展,使得贝叶斯方法的应用更加广泛.受到了全变分-高斯先验的启发,本文提出了一
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由于贝叶斯方法具有不确定量化的优点,因此该方法被广泛地应用于求解反问题.贝叶斯方法的思想是把未知量的给定先验信息和已知的观测数据结合起来,通过贝叶斯公式实现对后验信息的估计.因此,先验信息的选取对后验结果的估计有着极大的影响.由此产生的新的研究方向,也即是如何选取先验信息来改善反演结果的研究方向,极大地推进了贝叶斯方法的发展,使得贝叶斯方法的应用更加广泛.受到了全变分-高斯先验的启发,本文提出了一种改进的非局部分数阶全变分-高斯先验,它是将非局部分数阶全变分正则化项与高斯参考测度结合构成的一种新的先验形式.本文简要介绍了利用贝叶斯方法求解反问题的基本框架,其中混合先验下的无穷维贝叶斯反演框架是构造非局部分数阶全变分-高斯先验的基础.在构造非局部分数阶全变分-高斯先验时,选取未知函数的状态空间为分数阶Sobolev空间,分数阶全变分正则化项为附加正则化先验信息.分数阶全变分正则化项中涉及到了分数阶导数,因此,本文先给出了几种常用的分数阶导数的定义及其相关理论性质.接着,定义了分数阶全变分和分数阶Sobolev空间,并且证明了分数阶Sobolev空间为可分Banach空间.然后,本文给出了分数阶全变分正则化项的具体形式,并结合Sobolev空间的嵌入定理,证明了选取的分数阶全变分正则化项满足混合先验下的无穷维贝叶斯反演框架中对附加正则化先验信息的假设条件,由此得出了基于分数阶全变分-高斯先验的贝叶斯反演方法的适定性和有限维近似性结果,在理论上给出了该先验的可行性和有效性.最后,本文给出了该先验在数值方面的两个具体应用:一个是求解线性的反卷积问题,另一个是求解非线性的参数识别问题.在算法上,本文采用了常用的预条件Crank-Nicolson（p CN）算法实现对后验的采样,得到的后验均值估计结果能够比较好地近似真解,在数值上验证了该先验的可行性和有效性.
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