【摘 要】
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本文运用变分法和拓扑方法刻画Hamilton系统的解在相空间上的扭转性,并以此研究一些重要模型的周期解和次调和解的存在性,多解性及混沌动力学性态.本文主要讨论如下三个问题:一.高维共振耦合的Poincaré-Birkhoff扭转定理及在超-次-共振耦合系统上的应用;二.具有退化性的次线性Hamilton系统的次调和解;三.超线性不定位势的弹性碰撞振子的周期与混沌动力学性态.问题一:通过变分法研究耦
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本文运用变分法和拓扑方法刻画Hamilton系统的解在相空间上的扭转性,并以此研究一些重要模型的周期解和次调和解的存在性,多解性及混沌动力学性态.本文主要讨论如下三个问题:一.高维共振耦合的Poincaré-Birkhoff扭转定理及在超-次-共振耦合系统上的应用;二.具有退化性的次线性Hamilton系统的次调和解;三.超线性不定位势的弹性碰撞振子的周期与混沌动力学性态.问题一:通过变分法研究耦合共振的高维Poincare-Birkhoff扭转定理.通过一系列的辛变换把耦合共振与扭转的高维Hamilton系统转化为退化线性泛函的无界扰动.相应的问题尚无多解型的临界点定理.为此应用J.Liu的广义鞍点定理[17]得到一个对应到Hamilton系统的退化线性泛函的无界扰动的多解型鞍点定理.作为这个鞍点定理的应用,成功地得到了共振-扭转耦合的Hamilton系统的高维Poincare-Birkhoff扭转定理,从而能够处理相当广泛的混合型的耦合Hamilton系统,比如超线性-次线性-共振耦合的Hamilton系统的周期解与次调和解的多解性.这是之前所没有的新结果.同时,具有无界扰动的多解型鞍点定理给出了处理其他“退化+无界”情形下多解问题的一个有效的变分工具.问题二:讨论具有退化性的次线性Hamilton系统的次调和解.从相平面分析的角度,扭性性质的把握需要位势函数在一定条件下的定号性质.变号或者系数函数为零都给相平面分析带去很大困难.考虑两类定号性质缺失的次线性模型.第一类是具有Landesman-Lazer条件的次线性有界耦合Hamilton系统,其研究难点在于解在分量相平面上的盘旋性质的刻画,不能简单地通过Hamilton函数控制解盘旋的上界和下界,因此,需要更细致的相平面分析来讨论解的盘旋性质.此外,耦合系统的各分量之间相互牵制和影响,为此,构造了一个截断函数,使得改造后的系统在分量相平面的原点附近相互独立从而使得解在原点附近的角度估计有意义.第二类是退化的Lotka-Volterra型系统,其背景是在生态环境中在某个时间阶段捕食因素停滞的模型.相应Hamilton系统在某个时间阶段系统的系数函数为零.而Hamilton系统解在相平面上的扭转刻画需要系数函数在一定条件下的定号性质,这种零退化的情形就给相平面分析带来了很大的困难.通过综合的定性分析,得到解在给定时间周期上的扭转性,从而可以应用Poincare-Birkhoff定理得到相应系统的多个次调和解.问题三:研究超线性不定位势的弹性碰撞振子的周期与混沌动力学性态.具有多个正、负时区的超线性方程的解的爆炸（blow up）不易处理,因而Poincaré-Birkhoff定理不再适用.但正时区上的超线性导致解的扭转与负时区上的解的blow up在相平面的拓扑上看具有拉伸-扭转的动力性态.以往的相关研究成果集中于Hill型方程,它与我们研究的振子的区别是振子存在强迫项,一般而言不存在零解,我们甚至于不知道相应的碰撞振子是否有全局定义解.所以相平面分析变得十分复杂.我们的办法是在相平面上对解的扭转和拉伸行为进行细致的分析,找到了相应的稳定流形.然后,通过相平面分析和Poincare映射的时间逆映射,巧妙地构造了一个满足条件的闭拓扑四边形,然后应用拉伸扭转不动点定理得到周期解和次调和解的存在性.通过对解的扭转和拉伸性质的深入研究,同时证明了给定零点序列的有界非周期解的存在,并运用符号动力学讨论了超线性不定位势的弹性碰撞振子的混沌动力学性态.
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