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在群论研究中，子群的性质对群的结构有重大影响.通过研究子群的共轭子群的性质来讨论有限群的结构是一个非常重要的课题.一般从以下三方面讨论：
(1)通过研究特定子群的共轭子群个数来讨论有限群的结构.如Sylow定理；
(2)通过研究特定子群的共轭类类数来讨论有限群的结构.如对非正规子群的共轭类类数为1，2，3和4的有限群分类；
(3)通过乘积可换子群的性质讨论有限群的结构.研究了s-c-置换子群(如果存在x∈G，使得对G的任意Sylow子群T有HTx=TxH，则称H为G的s-c-置换子群)及X-s-半置换子群(如果子群A在G中存在补T，使得A与T的每个Syolw子群都X-置换，则称A在G中X-s-半置换)讨论有限群的结构。
本文在第三章中，主要结合非正规子群的共轭类类数为1，2，3和4的有限幂零群的完全分类，给出了非正规子群的共轭类类数为5的有限幂零群的完全分类。