【摘 要】
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本文主要考虑在d（d=1、2）维空间中,与谐振子相关的半线性Klein-Gordon方程和半线性波动方程的整体适定性问题,其中m ∈[0,+∞),μ ∈ {-1,1},p ∈ N*。我们证明了小初值解的整体存在性,同时得到在焦散情况下且p为偶数时任意解的整体存在性。除此之外,证明了解的任意整数阶Sobolev范数关于时间最多以多项式增长。证明的思想是利用方程的哈密尔顿结构来说明解的Hs范数的时间导
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本文主要考虑在d（d=1、2）维空间中,与谐振子相关的半线性Klein-Gordon方程和半线性波动方程的整体适定性问题,其中m ∈[0,+∞),μ ∈ {-1,1},p ∈ N*。我们证明了小初值解的整体存在性,同时得到在焦散情况下且p为偶数时任意解的整体存在性。除此之外,证明了解的任意整数阶Sobolev范数关于时间最多以多项式增长。证明的思想是利用方程的哈密尔顿结构来说明解的Hs范数的时间导数可以由其自身的幂与H1范数的乘积来控制,而H1范数根据能量守恒定律是有界的,然后由常微分方程的知识得到结果。本文主要组织如下:第一章,简单介绍了非线性Klein-Gordon方程和非线性波动方程的研究背景与意义,同时介绍了不同发展阶段,解的整体存在理论的研究成果,以及研究方法的改进与创新,最后引入我们今天要讨论的方程及其主要结果。第二章,首先引入适当的Sobolev空间,并计算出方程的能量估计,得到解的局部存在理论。根据局部存在理论,假设在相关Sobolev空间中初始值的范数为ε阶且ε较小时,解的存在区间长度为cε-p。最后我们引入解的爆破条件。第三章,证明和推导一些将要使用的估计。第四章,我们证明主要定理。方法是先将方程进行变换,利用前面得到的估计式,并结合能量守恒、以及常微分方程的的有关知识,得到其解的Sobolev范数关于时间最多以多项式增长,这意味着解整体存在。
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