自20世纪60年代以来,在众多的科学技术研究领域中,都提出“由效果、表现(输出)反求原因、原像(输入)”的反问题,通称为“数学物理反问题”。声波散射反问题是一类典型的数学物理反问题,在无损检测、医学成像、遥感、雷达、声呐、石油、地矿和海洋探测等领域都有着广泛而重要的应用空间,迄今已发展成为融合计算数学、应用数学和系统科学的具有交叉性的热门学科方向,对其计算方法的研究正吸引着国内外众多学者的浓厚兴趣。本文重点研究了Neumann边界条价下的声波障碍散射正问题和Dirichlet、Impedance边界条件下的声波障碍散射区域反问题的数值计算方法,得到很好的理论结果和数值结果。此外,基于Tikhonov正则化思想,给出求解一类Abel积分方程的数值反演算法。本文主要工作如下: 1.数值求解Neumann边界条价下的声波障碍散射正问题,这是声波反问题研究的基础。利用位势理论将问题化为便于求解的第二类和第一类Fredholm边界积分方程。对前者采用Nystr(?)m、配置法和Galerkin方法进行数值求解,对后者采用Tikhonov正则化方法进行求解。数值计算结果表明这些方法均是有效的,可用于声波障碍散射反问题的研究中。 2.用Tikhonov正则化方法数值求解由声波散射场的远场模式信息来再现散射物边界形状的反问题。首先构造表达散射物特征的指示函数,然后利用该函数之特性,建立求解该类反问题的基本方程,进而数值求解散射物的边界形状。此算法不需预先知道散射物的边界类型和形状等信息,数值计算结果表明该方法是有效的和实用的。 3.用Linear Sampling方法求解由声波散射场的远场模式的值和时间调和的入射声波再现障碍物形状的反问题。该方法基于解第一类线性积分方程的反演算法,从而避免了运用通常求解非线性和不适定问题的非线性最优化方法,而且不必先验地知道散射物体的边界类型和几何形状等信息,数值结果表明了该算法的数值稳定性和有效性。 4.基于Tikhonov正则化思想,将Abel积分方程的理论反演公式与数值求导的离散正则化处理手法,连同带权Gauss型积分方法相结合,给出求解一类Abel积分方程的数值反演算法,并进行了理论分析和数值试验,结果表明该算法具有精度高,数值稳定等优点。