控制科学的发展不仅需要引入新的控制手段，改善控制性能，还需要引入新的数学概念和工具，在理论上深入发展，在方法上不断创新。几何代数是一门通用而又强大的数学语言，它能够简洁地描述包括刚体运动在内的所有共形变换，是很有希望替代目前在空间运动学问题中广泛使用的向量代数的数学工具。本文围绕几何代数在导航和控制领域的应用进行了一些探索性的研究，完成的主要工作如下：1.推导了几何代数中描述旋转运动的旋转子运动学方程和描述一般性刚体运动的螺旋子运动学方程，建立了旋转子与速度，以及螺旋子与螺旋速度（由角速度和速度构成的物理量）之间的关系。应用几何代数研究坐标转换问题，给出了几何代数中共原点和不共原点的坐标系之间的坐标变换的表示方法，以及描述这些坐标变换的算子的运动学方程。结果表明，旋转子运动学方程和螺旋子运动学方程具有完全相同的形式，充分体现了几何代数的统一性和通用性。这些运动学方程适用于求解空间运动学和动力学问题。2.研究了基于几何代数的捷联惯导算法。从牛顿第二运动定律出发，通过引入推力速度坐标系和引力速度坐标系的概念，建立了描述各坐标系相对运动的螺旋子与速度、加速度和角速度之间的关系（即几何代数捷联惯导方程），并证明了几何代数捷联惯导方程与传统导航方程的等价性。从螺旋子的三角函数形式和运动学方程出发，推导了螺旋外张量（由旋转角、螺距和旋转所在的平面组成的几何量，相当于传统姿态更新算法中的等效旋转矢量）的Bortz方程，然后在此基础上设计了螺旋外张量算法，并分析了该算法与传统算法的误差。仿真结果表明，螺旋外张量算法继承了等效旋转矢量算法的优点，提高了速度和位置的计算精度，适用于高精度导航系统。3.研究了基于几何代数的捷联惯导/GPS组合导航系统卡尔曼滤波算法。建立了刚体运动的加性误差模型和乘性误差模型，并在此基础上推导了捷联惯导系统的加性误差模型和乘性误差模型。根据几何代数运算的特点，将捷联惯导系统的乘性误差模型改写成适合于计算机求解的矩阵形式，并结合GPS误差模型，建立了捷联惯导/GPS组合导航系统的卡尔曼滤波方程。实验结果表明，该组合导航系统能够有效地抑制误差的累积，显著地提高捷联惯导系统的精度。4.研究了基于几何代数的位置和姿态控制问题。根据螺旋子运动学方程，分别研究了定位定姿控制和位姿跟踪控制这两种情况下的位姿运动学控制律，并运用Lyapunov定理证明了其稳定性。回归平衡点的定位定姿控制实验以及在螺旋运动环境下的姿态跟踪控制实验表明，姿态控制律稳定性好，能够很好地跟踪目标机动。在位姿运动学控制律的基础上，还结合刚体旋转和平移的动力学方程，设计了位姿动力学控制律，然后通过理论证明以及航天器空间交会对接实验验证了该控制律的性能。实验表明，该控制律稳定性好，而且实现了姿态、位置、角速度和速度的同步控制。