复杂网络是描述复杂系统中实体关系的方法,现实世界中的众多复杂关系可以通过复杂网络表示。一般而言,真实复杂网络具有无标度特性、高聚集性、小世界效应以及社区结构特性等特点。研究表明真实网络结构与几何空间存在内在联系,网络的统计特征能够通过几何空间的性质进行刻画。利用几何网络模型对复杂网络进行研究是复杂网络领域的主要研究方法。本文基于几何复杂网络模型框架对复杂网络的生成、表示以及应用展开研究。其研究内容包括:1.研究复杂网络的几何动态生成模型。为了刻画真实网络结构随时间变化的动态特点,本文提出了几何动态网络生成模型,将连边随时间的形成过程描述为泊松/霍克斯随机过程,刻画网络动态特征与结构特征。基于提出的动态几何网络生成模型,本文研究模型性质及特点,并给出网络的平均度、集聚系数、平均路径长度等网络的关键特征。理论与实验表明,动态几何网络生成模型可以准确重现真实动态网络随时间变化的规律以及无标度、高聚集、小世界、社区结构等特征。2.研究基于双曲几何空间的有权网络表示方法。由于几何网络模型刻画了真实网络的形成规律与统计特征,相较于基于判别模型的嵌入方法,基于几何网络模型的网络嵌入方法对于复杂网络具有较强的可解释性。研究表明双曲空间是许多现实网络的潜在空间,因此本文基于有权双曲网络模型,探讨网络在双曲空间的嵌入算法。作为网络生成的逆过程,本文证明有权双曲网络嵌入是一个难以求解的非凸问题。针对双曲嵌入优化的非凸特性,本文基于拉普拉斯矩阵的特征分解、贪婪算法以及参数化的梯度优化算法,提出有权网络的双曲嵌入方法,以有效避免网络嵌入陷入局部最优的问题。在合成网络嵌入与社区发现、链路预测、节点分类、网络导航等真实网络嵌入的应用问题中,提出方法均显示出良好的嵌入性能。3.研究基于几何网络的人工神经网络模型。传统的神经网络模型通常基于人工设计的网络结构,作为几何网络模型的应用,本文提出具有自然特征网络结构的人工神经网络。本文利用几何复杂网络模型模拟自然特征的网络结构,并将其用于设计神经网络构架。基于深度学习技术,构建了基于几何网络的神经网络模型。数值结果显示,具有自然特征的连接结构具有良好分类性能,其性能超过了目前广泛采用的神经网络结构。基于几何神经网络模型,本文研究了神经网络结构与性能的关联,以及节点位置与其分类功能的关系。结果显示,高性能网络一般具有稀疏性、同质性以及局部连接特点,且分布在相邻几何区域的网络节点在分类功能上存在关联,稀疏网络具有较强的抵抗节点失效的能力。