【摘 要】
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在统计物理与数学物理中,求解图的monomer-dimer问题（或求图的匹配数）是件有趣但很困难的事情,本文主要研究一些图类的monomer-dimer问题.其主要内容如下:1.给定一个含有m条边的图G,M D是G的一个monomer-dimer,它的dimers为D={e1=v1vk+1,e2=v2vk+2,...,ek=vkv2k}.若Ha1b1,Ha2b2,...,Ham-kbm-k是m-k
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在统计物理与数学物理中,求解图的monomer-dimer问题（或求图的匹配数）是件有趣但很困难的事情,本文主要研究一些图类的monomer-dimer问题.其主要内容如下:1.给定一个含有m条边的图G,M D是G的一个monomer-dimer,它的dimers为D={e1=v1vk+1,e2=v2vk+2,,ek=vkv2k}.若Ha1b1,Ha2b2,,Ham-kbm-k是m-k个不同的简单图,其中每个Hbaii有两个根点ai和bi（1≤i≤m-k）.定义图R(G;D;Hbaii)如下:把图G中的m-k条边ek+1=va1vb1,ek+2=va2vb2,,em=vam-kvbm-k分别替换成Hba11,Hba22,,Ham-kbm-k(把Hbaii的两根点分别与ek+i的两个端点重合)得到的图即为R(G;D;Hbaii).我们利用组合技巧（组合双射）,在一定条件下得到了R(G;D;Hbaii)的monomer-dimer问题的求解公式.作为应用,解决了Zhang,Liu,Wu,和Zou等人在文（Phys.Rev.E,83（2011）,016116-1-8）中提出的一类分形无标度网络的monomer-dimer问题,并推广到了带权的情况.2.解决了两类硅酸盐分子图（链状和圈状）的monomer-dimer问题.3.最近Mohammadian（J.Alg.Combin.,52（2020）,33-39）定义了简单图的Laplacian匹配多项式,它等价于一类带权的monomer-dimer问题,并得到了它的一些类似于匹配多项式的性质.我们把Laplacian匹配多项式的定义推广到顶点带权和边带权图的情形,利用容斥原理,证明了一个权图G的Laplacian匹配多项式等价于图G的一个权剖分图S（G）的匹配多项式,从而给出了Laplacian匹配多项式系数的一个组合解释,即图G的Laplacian匹配多项式系数可解释为G的剖分图的匹配数.
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