【摘 要】
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Klein-Gordon方程是相对论量子力学和场论中的最基本和经典方程之一,它是Schr（?）dinger方程的相对论形式,用于描述自旋为零的粒子运动规律.作为Klein-Gordon方程的推广,分数阶Klein-Gordon方程能够更好地刻画相对论量子力学和场论中的基本粒子的动力学行为,并被广泛应用.本文分为两部分,第一部分主要研究了一维无界区域上时间分数阶Klein-Gordon方程的人工边界
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Klein-Gordon方程是相对论量子力学和场论中的最基本和经典方程之一,它是Schr（?）dinger方程的相对论形式,用于描述自旋为零的粒子运动规律.作为Klein-Gordon方程的推广,分数阶Klein-Gordon方程能够更好地刻画相对论量子力学和场论中的基本粒子的动力学行为,并被广泛应用.本文分为两部分,第一部分主要研究了一维无界区域上时间分数阶Klein-Gordon方程的人工边界方法和数值解法.首先利用Laplace变换将无界区域上时间分数阶Klein-Gordon方程转化成精确人工边界条件下时间分数阶Klein-Gordon方程的初边值问题,其边界条件包含具有三参数Mittag-Leffler函数的广义Caputo导数.为了解决精确人工边界条件的数值离散问题,我们首先构造了广义Caputo导数的L1逼近格式,研究了系数性质,分析了截断误差,并给出了广义Caputo导数的下界估计式.在此基础上,建立了精确人工边界条件下时间分数阶Klein-Gordon方程的有限差分格式,利用能量分析法证明了有限差分格式的收敛性和稳定性.最后通过数值例子验证了差分格式的有效性.第二部分主要研究了二维无界区域上时间分数阶Klein-Gordon方程的人工边界方法和数值解法.首先将二维无界区域上时间分数阶Klein-Gordon方程转化成极坐标下的等价方程,利用Laplace变换和Fourier变换得到了时间分数阶Klein-Gordon方程近似人工边界条件,从而将原问题转化成二维有界区域上近似人工边界条件下时间分数阶Klein-Gordon方程的初边值问题.其次建立了近似人工边界条件下时间分数阶Klein-Gordon方程的有限差分格式.最后利用数值例子验证了有限差分格式的有效性和可行性.利用人工边界条件将无界区域上的原问题转化为有界区域上精确或近似人工边界条件下的初边值问题,大大减少了计算代价,从而说明了利用人工边界方法求解无界区域上分数阶微分方程是一种简单,有效并高效的方法.
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