分数微积分是整数阶微积分的推广,由于分数导数可以描述材料和过程的记忆和遗传性质,所以分数阶模型比整数阶模型更适合描述一些实际问题,例如分数微分方程在神经元、电化学和控制论等领域有着广泛的应用.p-Laplacian方程源于力学中的多孔介质中的湍流,并在非牛顿流体理论和非线性弹性力学等领域有着诸多应用.近年来,分数微分方程边值问题解的存在性和多解性引起了众多学者的关注,也得到了许多重要的结果,但所用工具多为不动点定理和拓扑度理论等非线性分析方法,而用临界点理论得到的结果则很少,原因在于分数边值问题对应的函数空间和变分泛函难以构建.本文利用临界点理论和度理论讨论了几类分数p-Laplacian方程边值问题的可解性,在适当的条件下得到了一些边值问题解和无穷多解的存在性结果,所得结果在一定程度上推广和完善了一些已有工作.本文内容分为六章,具体如下.第一章介绍了所研问题的研究意义和研究现状,陈述了本文的主要工作,并介绍了一些分数微积分的基本概念和基本性质.第二章在变分框架下讨论了分数p-Laplacian方程和Kirchhoff型分数pLaplacian方程Dirichlet问题的多解性,当非线性项在无穷远处是p-1次线性(p2-1次线性)时,利用亏格(genus)的性质得到了Dirichlet问题无穷多非平凡弱解的存在性结果.由于p-Laplacian算子和Kirchhoff项是非线性的,这给(PS)条件的验证带来了一定的困难.第三章在变分框架下讨论了分数p-Laplacian方程和Kirchhoff型分数pLaplacian方程Dirichlet问题的可解性,在非线性项满足Ambrosetti-Rabinowtiz条件时,利用山路定理得到了Dirichlet问题非平凡弱解的存在性结果,并用Nehari方法得到了Dirichlet问题非平凡基态解的存在性结果.由于Kirchhoff项是非线性的,这给Nehari流形和值映射的凸性的验证带来了额外的困难.此外,Ambrosetti-Rabinowtiz条件可以保证非线性项在无穷远处是p-1超线性(p2-1超线性)的,该条件不同于第二章中的p-1次线性(p2-1次线性)条件.第四章在度理论框架下讨论了分数p-Laplacian方程周期边值问题的可解性,首先构建了分数p-Laplacian算子在周期边界条件下的延拓定理,然后在增长条件和符号条件下,用该延拓定理得到了周期边值问题解的存在性结果.由于分数p-Laplacian算子是非线性算子,而Mawhin延拓定理仅对线性算子有效,所以本章构建的延拓定理是Mawhin延拓定理的一个推广.第五章在度理论框架下讨论了几类分数p-Laplacian方程共振边值问题的可解性,当非线性项满足增长条件和符号条件时,利用延拓定理得到了共振边值问题解的存在性结果.共振边值问题相应的齐次问题具有非平凡解,因此对应的微分算子不可逆.此外,Mawhin延拓定理只能处理线性算子,所以本章将边值问题转化为相应的线性系统加以讨论.第六章总结了本文的主要结果,并对后继的研究工作进行了展望.