筛法,是数论中著名的筛选素数的方法。具体的,是筛出某一序列A中与素数乘积函数P(z)互素的元素,其中P(z)是与筛集合B有关的截断函数(可参考[16])。筛法起源可能要追溯到古希腊的Eratosthene,但是由于余项处理、参数选择等问题,这种筛法在应用上有一定的局限性；后来,挪威数学家Brun在1917年到1924年之间发明了组合筛法理论,这种筛法具有很强的应用性,在很多问题上可以得到一些很好的结果；1947年,基于二次型一个优美的优化设计,Selberg发明了Selberg筛法,相对于之前的Brun筛法,它理论上较为简明,技巧上更为灵活,估计上更加精细；目前组合筛法最好的结果是20世纪80年代的Rosser-Iwaniec筛法[18][19],它被认为是筛法的极致,除了在余项处理上更为灵活外,在最好的情形下它可在上界估计主项中渐近的有一个常数因子的改进(可参考[26])。筛法是数论中一个强有力的工具,在许多著名的数论问题中都有应用。比如孪生素数猜想,哥德巴赫猜想,不可约多项式表示成无穷多个素数问题等等。1973年,陈景润[7]在Bombieri [2],Renyi [24],潘承洞[21],王元[27]等人的工作基础上,利用双筛法在哥德巴赫猜想上取得重大进展,即得到了著名的“1+2”陈氏定理：假设x为一个充分大的偶数,p为一个素数,并定义P2为一个最多有两个素因子的整数,那么方程x=p+P2有解。且若令Px(1,2)为上述方程的解,那么有若将上述方程右边的P2改进到一个素数p,即可证明偶数的哥德巴赫猜想。而在孪生素数问题上,若令pn代表第n个素数,并记1940年,Erdos11]用Brun筛法最先证明△<1。2009年,Goldston,Pintz和Yildirim [14]利用筛法最先证明了△=0,且在2010年,他们[15]又证明了下式现在我们又称他们所用的筛法为G-P-Y筛法。2014年,张益唐[30]在孪生素数猜想上取得重大进展,他在Goldston,Pintz和Yildirim勺上述工作基础上,成功证明了在上面所述的两个著名猜想发展改进过程中,筛法都起到了举足轻重的关键作用。而在相邻整数问的最大素因子问题上,筛法也同样有用处。若n,n+1是自然数,记P(n),P(n+1)分别为n,n+1的最大素因子,令人们猜想当x足够大时,E(x)渐进等于x/2,且更一般的,n和n+1的最大素因子是“相互独立事件”。这个猜想看起来比较简单,不过却是一个很难很深刻的问题。著名数学家Tenenbaum[25]曾说过‘’It lies in the same class of problems than the famous abc-conjecture"。这方面最早的结果来自Erdos和Pomerance[13],他们在1978年得到结果：对足够大的x,E(x)≥0.0099x,但是在他们的证明中筛法并未起主要作用。2005年,de la Breteche、Pomerance 和 Tenenbaum[4]利用筛法得到更好的估计文章最后作者说Fouvry后来指出将此筛法改变一下筛的序列可以得到更好的结果,但并未给出具体的证明过程。在本文的第二章中,我们将系统介绍筛法的一些基本概念：筛序列A,筛集合B及筛函数S(A；B,z)。在引进筛函数时,也将同时介绍筛法的本质思想。在第三章中,我们将介绍几类筛法：Eratosthene-Legendre筛法,Brun组合筛法,Selberg筛法以及Rosser-Iwaniec筛法。而在第四章,我们将给出筛法的两个应用。首先,为了熟悉筛法以及筛序列筛函数的选取,我们先给出“1+2”陈氏定理的一个简要证明。其次,在两个相邻整数的最大素因子问题上,我们将给出上面提到的Fouvry所指出的筛法的证明过程,按此筛法可以得到