【摘 要】
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非局部理论的提出是由于经典理论无法用来处理断裂、断层、裂缝等奇异材料和变形材料.最近十几年,非局部模型在非局部扩散、连续介质理论和图像处理等领域得到了迅猛的发展,
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非局部理论的提出是由于经典理论无法用来处理断裂、断层、裂缝等奇异材料和变形材料.最近十几年,非局部模型在非局部扩散、连续介质理论和图像处理等领域得到了迅猛的发展,特别是非局部扩散模型经过一段时间的发展,已经能够在包括复合材料的断裂及裂缝的不稳定、多晶体的断裂和纳米纤维网络等多个领域凸显其有效性.由于非局部扩散模型本身具有全局性,计算量是一个非常棘手的问题,这就激励我们需要寻找有效的数值算法和预处理方法.该论文由下述的五章构成.第一章简要地回顾了分数阶导数的发展史和现状及已经存在的数值算法,非局部理论的物理背景和发展现状,总结了非局部理论和经典理论的联系与区别.第二章描述了分数阶导数的定义及相关性质,Mittag-Leffler函数的定义和必要的性质.第三章给出了非局部扩散问题和非局部算子的定义,并由有限差分空间半离散非局部扩散问题,得到了微分方程系统,与此同时还讨论了系数矩阵的性质.第四章考虑了分数阶微分方程解的Mittag-Leffler表示形式,给出了详细的收敛性分析.应用Shift-invert Lanczos预处理方法对矩阵的Mittag-Leffler表示和向量的乘积作处理,并在理论上证明了其计算时间的有效性.最后,通过数值实验验证了收敛性和计算量.第五章利用指数积分法解常微分方程系统,同时也用Shift-invert Lanczos预处理方法处理了矩阵指数和向量的乘积.数值结果表明,在预处理的作用下,利用指数积分法的计算量相对于隐格式有所减少.
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