传染病作为人类长期以来的敌人,对人类社会的危害不言而喻.而毒品和谣言的传播机制与传染病类似,所以对它们的研究都是基于传染病模型的.现实生活中,随着人口的迁移流动,传染病或者某些不良习惯（比如吸毒、酗酒、散布谣言等）会随着它们的携带者进入到一个新的地域,进而对该地域的人产生一定的影响,因此,传染病的流行不仅随时间变化,也与空间位置有很大关系.但是这种种群密度同时依赖于时间变量和空间变量的模型却很少被研究.因此,研究带有扩散项的模型比研究常微分模型更切合实际.本文主要研究了三类扩散传染病模型,并对其稳定性进行了分析,得到了控制传染病流行的一些可行的建议和措施,主要工作如下:第一章,主要阐述了传染病模型,海洛因传染病模型和类传染病谣言模型的研究背景和意义,介绍了这些模型的国内外研究现状,并对本文的主要工作进行了论述.第二章,我们建立了一个包含隔离、疫苗接种和复发的反应扩散SVIQR传染病模型.与以往用Lyapunov函数分析稳定性的思路不同,我们采用全局指数吸引集理论,用特征值λ^*作为阈值来衡量传染病是否持续存在.结果表明,若λ^*<0,疾病将会被根除;若λ^*>0,该疾病将持续存在.第三章,我们建立了考虑复吸和永久免疫的反应扩散海洛因传染病模型,并且分别分析了不带扩散项的常微分模型和带扩散项的反应扩散模型的全局动力学行为.结果表明,当R₀?1时,无毒品滥用平衡点是全局渐近稳定的;当R₀>1时,毒品流行平衡点是全局渐近稳定的.最后,数值模拟的结果也验证了我们的分析结果.第四章,我们研究了一种带有非局部扩散项的类传染病谣言模型,并且在模型中考虑到了智者（他们不轻易相信谣言,也不主动传播谣言）的比例.给出了模型的基本再生数R₀,并证明了无谣言传播平衡点和谣言流行平衡点的存在性并得到谣言流行平衡点在R₀>1时是全局渐近稳定的,而无谣言传播平衡点在R₀<1时是全局渐近稳定的.