矩阵几何是华罗庚于上世纪40年代开创的一个数学研究方向，有6类矩阵群上的矩阵几何先后被研究，即长方矩阵几何，对称矩阵几何，交错矩阵几何，Hermitian矩阵几何，斜Hermitian矩阵几何和三角矩阵几何.目前，对于一些重要环上矩阵几何的研究成为矩阵几何发展的新趋势. 本文的主要工作是讨论几个重要环上矩阵的秩与算术距离，可看作环上矩阵几何研究的基础性工作，也有广泛的应用背景.本文共分四章.第一章介绍矩阵几何的背景与研究动态.第二章系统讨论Sylvester整环和Bezout整环上矩阵的内秩，并把除环上矩阵的秩的一些主要性质推广到Sylvester整环上矩阵，其中将Cochran定理推广到Bezout整环上.第三章讨论了主理想整环上对称矩阵空间的算术距离与距离的关系，这种关系是复杂的.本文给出了对称矩阵空间的算术距离与距离的不等式关系.主理想整环上对称矩阵一般不能合同对角化，本文证明了对称矩阵可合同对角化的充分必要条件是算术距离与距离相等.在第四章中，我们讨论了交换环上矩阵的行列式秩，研究了行列式秩与内秩的关系，指出这两种秩在交换整环上是相等.最后，在一般环上的长方矩阵空间，证明了两个距矩阵的算术距离与距离相等.