对图进行代数性的表示及相关刻划是代数图论的中心课题之一.本文是在这一课题下针对有向图进行的研究和探讨.事实上，无向图可以可看作是对称有向图，即每条无向边对应方向互反，端点相同的两条弧.本文的研究工作主要分两部分，第一部分通过对有向图的几种不变量的讨论，对若干有向图类进行了研究并给出了一些代数表示与刻划.第二部分是对有向DeBruijn图这一特殊图类，给出了几种新的代数表示与刻划. 第一章概述了本文研究工作的相关背景和现状，以及本文的主要研究结果.第二章我们用矩阵等式的语言统一表示了有向图的同态映射，有向图覆盖，因子图，均匀划分等概念，并讨论了相应图类之间的关系.这一章的工作有独立的意义，同时也是为第三，四章的工作做准备. 第三至四章我们讨论了有向图覆盖的特征多项式.Gross和Tucker[80，81]指出，每一个对称有向图(正则)覆盖都可以通过对基图分配一个对称置换(普通)电压群而得到.这一结论推广到一般有向图也成立.我们突破了已有研究中电压群只能是有限Abel群的限制，对电压群是任意有限群的情况，给出了带半自由作用有向图的普通电压图表示，和分支指数为1的分支覆盖的置换电压图表示，并利用有限群表示论的知识，推导出了这两类图的特征多项式的分解公式.在以往的研究中提到，群作用有向图的特征多项式有一个因式与轨道图有关，但没有给出其几何意义，我们明确指出，该因式就是因子图的特征多项式. Hoffman多项式是对强连通正则有向图定义的一个不变量[92]，我们推广了这一概念，对任意非负不可约矩阵，包括一般的强连通有向图，定义了Hoffman多项式.我们明确提出了针对Hoffman多项式来研究有向图的判定性和刻划性两大类问题，并就此展开了具体的研究.这一部分内容集中在第五章.我们指出了Hoffman多项式与矩阵方程之间的关系，讨论了某些特殊图类对应的矩阵方程；并计算了有向图张量积的Hoffman多项式；探讨了两个初等等价矩阵的Hoffman多项式之间的关系，包括对有向线图及其基图，有向合并图和有向分裂图的相关表示和刻划；还针对一些特殊的多项式，研究了这些多项式成为有向图的Hoffman多项式的条件. DeBruijn图[28]是有着丰富研究及应用背景的图类，在组合学，计算机网络，光纤通讯，自动机，分形学，量子计算等许多研究领域都受到关注.本文第六章从代数结构出发定义了一类陪集图，由此给出了有向DeBruijn图的一个代数表示及相应刻划，该刻划证实并推广了Fiduccia和Jacobson[64]提出的一个猜想.我们在第七章讨论了有向DeBruijn图的最优OTIS(光纤转换互联系统)布局，并部分地证明了Coudert等人提出的一个猜想[43].在现有的研究基础上，我们还提出了若干可进一步探讨的具体问题.