试验设计作为数理统计的一个重要分支,在理论发展和应用领域都享有很长的历史。它被广泛地应用于和试验相关的很多领域,并且用统计方法设计优良的试验是提高工业和制造业产品质量的一个重要途径。随着科学技术的发展,研究者对领域内的复杂体系越来越感兴趣。为迎接这种趋势带来的挑战,试验设计近些年也开始关注超饱和设计和非正规设计的研究。超饱和设计近年来越来越受欢迎的原因是它能节省试验次数并且技术新颖。它是所有主效应的自由度超过了试验次数的因析设计,其出现源于其实验的经济性。基丁效应稀疏原则,我们可以用超饱和设计筛选重要因子。同时,正交设计在试验设计领域长期以来一直扮演着非常重要的角色。这里正交的含义是指设计任何两列所有可能的水平组合都出现并且出现次数相同,所以本文涉及的正交设计均是强度至少为二的正交表。正交设计大致可分为两类:正规正交设计和非正规正交设计。其中正规正交设计是由定义关系决定而且别名关系简单的设计,也就是说它的任何两个效应要么正交要么完全别名。与之相比,非正规正交设计的别名关系就复杂多了,它存在着一些既不正交又不是完全别名的效应。近几十年,科研人员对超饱和设计和非正规设计进行了较为广泛的研究,但主要集中在最优理论和设计构造上面。为了衡量这些设计的优劣,他们提出了很多准则,其中Fang,Lin and Liu(2003)提出了用于衡量两因子间平均非正交程度的E(fNOD)准则。Xu(2003)引入了最小低阶矩混杂准则,这个准则不像我们常见的准则那样直接研究因子之间的关系,而是从研究设计行之间的关系出发。最小低阶矩混杂准则概念简单并且容易计算。所以本论文将采用最小低阶矩混杂准则来衡量正交设计的优劣。实际上,对于对称设计E(fNDD)准则和最小低阶矩混杂准则是等价的,但是这两种准则都不足以阻止别名的发生。也就是说,即使一个超饱和设计是E(fNDD)最优或是最小低阶矩混杂最优,这个设计依然可能有相互别名的列。所以,本文要采用最小化最大fijNDD准则作为辅助,进一步比较设计的优劣并阻止超饱和设计中别名情形发生。因为E(fNDD)从概念和定义上较最小低阶矩混杂准则与最小化最大fijNDD准则更为接近。　　 本文主要采用E(fNDD)准则和最小化最大fijNDD准则作为衡量超饱和设计优劣的标准。在已有的文献中,有大量关于两水平超饱和设计的构造与分析的研究,不过,关于高水平和混水平最优超饱和设计的研究相对较少。只有有限的具有某些特定参数(行数、列数、水平数)的设计被构造出来,还有大量的高水平和混水平超饱和设计需要构造。本论文的一个主要目的是研究高水平和混水平超饱和设计的构造。在试验设计领域,由某一特定生成向量循环构造设计的方法经常被用来构造设计。Plackett and Burman(1946)构造了行数为素数幂的循环正交设计,这些设计包括行数不是二的幂次的两水平的正交设计和行数为素数幂且水平数为该素数的多水平正交设计。作为他们构造方法的推广,本文提出了一种新的构造高水平循环设计的方法。基于有限域的知识,本文提出了构造具有素数幂的行数和素数幂水平数的E(fNDD)最优设计的生成向量的方法,并进一步证实,这样构造的设计不仅不含相互别名的列,而且其中一部分设计同时还在相同参数的所有设计中具有最小的最大fijNDD。这种方法易于操作且能快速的构造设计。该优点在试验次数较大的时候就更为明显,当现有的构造高水平循环超饱和设计的搜索方法由于计算量太大而无法使用时,我们依然能快速地得到E(fNDD)最优的高水平循环超饱和设计。为方便实际应用,我们在文中列出了一些小于100行的循环设计的生成向量。Fang,Lin and Liu(2003)给出了超饱和设计达到E(fNDD)最优的条件,即:如果某个设计中所有的行与行之间的相似数为常数,那么这个设计是E(fNDD)最优的。由此我们得出如果饱和的平衡设计的任意两行的相似数为常数,那么这个设计是正交设计。同时根据这个结论,我们能立即得出Plackett and Burman(1946)构造的行数为素数幂的循环设计的正交性,而他们原有的证明非常复杂难懂。同时,我们探索了用k-循环生成向量构造E(fNDD)最优的混水平设计的方法。我们给出了混水平的k-循环平衡设计存在的充要条件。这些条件可以帮助我们从大量候选的生成向量中选出可以构造平衡设计的生成向量。由k-循环生成向量得到的超饱和设计有一些独特的性质,这在文中有具体的讨论。其中的一条性质给出了k-循环超饱和设计达到E(fNDD)最优的条件。根据该条件,我们不用验证所有的行相似数而只需验证行号之差不同的行相似数(如果某两行行号差的绝对值与另外两行行号差的绝对值的和为总行数减1,我们认为它们有相同的行差)即可判断设计的E(fNDD)最优性。另一条性质表明由七一循环构造的设计的某些fijNDD是相同的。这些性质使得我们对k-循环设计的研究变的更加容易。同时,我们还给出了搜索k-循环E(fNDD)最优混水平设计的生成向量的详尽算法。文中构造并列出了许多新的设计。该方法是Liu and Dean(2004)关于两水平超饱和设计和Georgiou and Koukouvinos(2006)关于高水平超饱和设计方的构造方法在混水平情形的推广。　　 本研究探讨了由平衡设计与差阵转置Krouecker和所得设计的行相似数与该平衡设计行相似数的关系,并根据该结果提出了构造E(fNDD)最优的超饱和设计的列并置方法,这种列并置的设计包括两部分,一部分是定义在阿贝尔群上的一个E(fNDD)最优超饱和设计与差阵转置的Kronecker和,剩下的部分是由另一个E(fNDD)最优超饱和设计的一些列与某些向量的一般Kronecker和构成。如果一个差阵的转置仍然是差阵,那么这个差阵就是广义的Hadamard阵。我们还在文中论述,如果在上面的方法中用广义Hadamard阵代替一般的差阵构造这种E(fNDD)最优的超饱和设计,那么这种设计不存在完全别名的列。此外,我们还列出了用这种方法构造的一些新的E(fNDD)最优的超饱和设计。以往的文献中有许多构造正交表的方法,而且衡量正交设计优劣的准则研究也很多。但是关于构造某个准则下的最优设计的研究相对不足,而且这方面的研究还大多集中在构造正规的最优设计上面。同时非正规设计由于其具有较好的投影性质和行数灵活的特性越来越受关注。但是在具有相同参数的正规和非正规的设计中根据某一准则构造最优的正交设计仍然是一个挑战。所以本论文的另一目的是构造具有最小低阶矩混杂的正交设计。　　 本文得出,如果一个设计行相似数最多取三个值,并且其中一个是同等大小的一类设计中可能取到的最小的行相似数,另外两个是相邻的整数,那么这个设计是最小低阶矩混杂最优的。基于该结果,我们得出某些广义Hadamard阵与正交设计的Kronecker和是最小低阶矩混杂最优的。实际上,Butler(2003b,20051通过将一些混水平饱和设计投影在某些列(等水平)上得到了一些具有广义最小低阶混杂的设计。Fang,Zhang and Li(2007)和Sun,Liu and Hao(2009)也提出了一些搜索高水平广义最小低阶混杂的设计的算法。他们构造的某些设计和我们构造的相同。但是,当试验次数很多时,Butler(2005)的方法需要的饱和设计比较难找,搜索的方法更是难以实现。而我们的一些结果在试验次数很大的情形下依然有效。