从实际出发,保险公司渴望达到一种最优状态,即风险(破产概率)最小、收益(分红)最大.基于保险业的风险管理应运而生了保险数学,其中最具理论性的重要组成部分是风险理论.保险公司所关心的破产概率、破产赤字及分红等精算量成为风险理论所研究的主要内容.随机过程、随机分析、鞅的理论和方法在刻画这些精算量方面取得了丰硕的成果.从收益角度看,分红量和财富效用等的最大化是保险公司所关心的,对于这些量的研究则属于金融保险中的随机最优控制问题.二十世纪九十年代, As-mussen等(1997)[1]和Browne(1995)[2]运用随机控制理论和方法通过Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程分别得到了扩散模型下的最优投资和最优分红策略,使得此类问题的研究取得了突破性进展.此后,众多学者从不同角度针对最优问题的研究得到了很好的结果.就研究的风险模型而言,连续时间风险模型是大多数学者所关注的.其主要分为两类:一类是扩散模型,另一类是复合泊松模型.关于这两类风险模型,最基本的就是带漂移的布朗运动和古典复合泊松过程,由于它们都具有平稳独立增量性的特点,很多问题容易解决,所以人们喜欢用它们来刻画保险公司的盈余过程.其中,对于带漂移布朗运动风险模型的研究相对完善,而复合泊松模型下的最优分红问题一直以来都是一个难点.主要原因是在复合泊松情境下所对应的最优方程不再有边界条件并且有可能不再有连续可微的解.Gerber和Shiu(2006b)[3]等一批学者也研究了各种修改后的复合泊松模型,这类模型主要就两次相邻索赔之间的样本轨道进行了不同形式的刻画.对此,2009年Jun Cai[4]提出逐段决定复合泊松风险模型的概念.相对于古典复合泊松模型,此模型的保费收入率是依赖于盈余过程的,这使得其更加符合实际.其一,从保险公司角度看,如果盈余水平足够高,那么保险公司就会降低保费以增强同业间的竞争力,如果盈余水平很低,保险公司就会增加保费以规避资金不足的风险;其二,从金融数学的角度看,逐段决定复合泊松风险模型囊括了目前流行的多种类型的风险模型,例如古典风险模型、常利率风险模型、多重阈值分红策略风险模型、存息利率风险模型、对偶模型等.现在,针对逐段决定复合泊松风险模型的众多特殊情形均有不同程度的讨论,其主要成果集中于对Gerber-Shiu函数的研究,如Lin和Pavlova(2006)[5]、Lin和Sendova(2008)[6]、Cai和Dickson(2002)[7]、Cai, Feng和Willmot(2009)[8].而对于逐段决定复合泊松风险模型本身及其一般的最优控制问题的讨论却很鲜见.基于以上情况,本文致力于对逐段决定复合泊松风险模型的几种最优控制问题进行研究.下面就文中各章节内容进行详细介绍.第一章针对本文所需的基本理论和方法进行了阐述.这些内容主要来自Schmidli(2008)[9]和Davis(1993)[10].第二章讨论逐段决定复合泊松风险模型的受限分红支付问题.周知,公司将盈余的一部分分发给股东就是分红.从某种意义上来讲,最大化的分红总量是公司收益的一种标志.为了使得分红总量达到最大,公司应该采取什么策略进行分红是金融和保险领域内的热点话题.受限分红问题是假定分红过程中分红率不能超出某个上限限制的情况下,寻找最优的分红策略使得保险公司破产前分红总量达到最大. Asmussen和Taksar(1997)[1]及Jeanblanc-Picque′和Shiryaev(1995)[11]最初研究了布朗运动模型下的受限分红问题,结果证明阈值策略(threshold strategy)为最优分红策略, Gerber和Shiu(2006a)[12]给出了一些相应的计算.在经典风险模型下, Gerber和Shiu(2006b)[3]讨论了类似的问题,其结果表明索赔额服从指数分布时阈值策略(thresh-old strategy)为最优.当索赔额分布为一般情形时, Schmidli(2008)[9]证明最优策略是多重阈值策略(multi-threshold strategy).在以上所研究的受限分红问题中,分红率上限均为某个常数,这与实际情况是存在一定差距的.本文所讨论的逐段决定复合泊松模型,由于保费收入率依赖于盈余过程,故而分红率受限于一个局部利普希兹连续函数,它同样依赖于盈余过程,相应的最优策略是一个广义多重阈值策略.为了保证HJB方程的一个解为值函数,我们刻画了相应值函数的特性.最后,给出了线性保费收入率及指数索赔额分布情形的一个数值解法.第三章讨论逐段决定复合泊松风险模型的非受限分红支付问题.相对受限分红而言,非受限分红问题中分红率不再有上限控制,相应的最优策略属于奇异控制类型.文中为了确定值函数及最优策略,首先对值函数的特性进行了刻画.在此基础上通过变分方法建立所需的HJB方程,并且讨论证明得到最优策略.在最优策略下,本文分别证明了值函数是HJB方程的最小解, HJB方程的解在满足一定条件时即为所刻画的值函数.第四章讨论逐段决定复合泊松风险模型的脉冲控制问题.此问题中的优化目标为最大化分红支付效用的累积折现值,其效用函数为()=1(),∈(0,1].为了使得分析更加贴近实际情况,当进行分红时要求产生一定的交易费用,其中包含固定交易费用和税费.这些费用的产生使得交易不再具有连续性,因此在考虑分红量的同时还要考虑分红时间的选择,这从根本上影响着最优分红策略的形式,并归结为脉冲控制问题.相比之下,这类问题的分析难度加大.基于此种情况,这类最优分红问题在风险理论中讨论的并不多,尤其是针对复合泊松模型的分析.相关最优分红问题, Paulsen(2007)[13]、Jeanblanc-Picque′和Shiryaev(1995)[11]以及Cadenillas等(2007)[14]分别就扩散模型从不同角度进行了讨论;就经典风险模型而言,Thonhauser和Albrecher(2011)[15]研究了和本文相同的目标值函数, Bai和Guo(2010)[16]得到了其一种特殊情况下的最优值函数的解析解及相应的最优分红策略.本章讨论逐段决定复合泊松风险模型下引入分红支付所涉及的固定及比例费用情况,得出其最优值函数为一组拟变分不等式(QVI)的最小解,等价地为沿轨道绝对连续函数域中首跳算子的最小固定点.并且验证了QVI控制为最优策略,相应的值函数和干涉算子是沿轨道局部利普希兹连续的.其中,第一部分讨论了最优停止问题,第二部分得出脉冲控制问题的主要结果,第三部分给出了本章主要结果的证明过程及一些辅助性论证内容.第五章给出了第四章中所涉及问题特殊情况下的数值解法及部分算例.基于上一章的论证结果,本章内容着重讨论了它的一个特殊情形.当=1时,假设索赔额服从指数分布,通过讨论相应的拟变分不等式(QVI),我们给出了其最优值函数及最优策略(如果存在)的数值求法.依赖于模型参数及交易费用,可能存在三种不同情形:(1)当盈余达到某一数值ˉ时,支付分红*后盈余为ˉ*,盈余过程继续直至破产;(2)当盈余达到某一数值ˉ时,超出部分全部支付分红,盈余过程继续直至破产;(3)如果最优策略不存在,值函数通过递增边界近似得到.最后,给出保费收入率函数分别为常数和线性函数的两个算例.