【摘 要】
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伽罗瓦环是一类特殊的局部环,环中所有的零因子和零元构成了它唯一的极大理想（p）,其中p是一个素数.本文主要讨论伽罗瓦环R=GR（ps,m）上的对称矩阵合同和伽罗瓦环扩张R’/R上的自对偶基,其中R’=GR（ps,mn）.当s=1时,R’和R分别是有限域Fpmn和Fpm,目前有限域上的对称矩阵合同和自对偶基问题已经有较好的解决.本文中,我们对s取任意正整数的一般伽罗瓦环进行以下两方面的研究:一是R上
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伽罗瓦环是一类特殊的局部环,环中所有的零因子和零元构成了它唯一的极大理想（p）,其中p是一个素数.本文主要讨论伽罗瓦环R=GR（ps,m）上的对称矩阵合同和伽罗瓦环扩张R’/R上的自对偶基,其中R’=GR（ps,mn）.当s=1时,R’和R分别是有限域Fpmn和Fpm,目前有限域上的对称矩阵合同和自对偶基问题已经有较好的解决.本文中,我们对s取任意正整数的一般伽罗瓦环进行以下两方面的研究:一是R上对称矩阵和对角矩阵的合同关系;二是当p是奇数时,给出R’/R上自对偶基存在的充要条件以及自对偶基的数量.对R上对称矩阵的合同我们分为p是奇数和p=2两种情况进行讨论.p为奇数时,我们证明了 R*中的非平方元v可表示为R*中两个元素的平方和,进一步得到R上可逆对称矩阵和对角矩阵的合同关系,并给出了相应例子.同时,文中也给出并证明了 R上一般对称矩阵和对角矩阵的合同关系.p=2时,我们证明了若伽罗瓦环上可逆对称矩阵的对角元素中有单位,则其合同于一个特殊的对角矩阵.关于自对偶基的问题,我们先给出了p为奇数时R’/R上自对偶基存在的充要条件,证明过程主要用到了第3章得到的矩阵合同的相关结论以及广义Frobenius自同构的性质.其次,我们通过研究R上t ×t秩为r的对称矩阵的数量,给出了 p为奇数时R’/R上自对偶基数量的递推公式.
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