【摘 要】
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分数阶微分算子具有典型的非局部特性,当前被广泛应用于科学和工程计算的各个领域.但也正因为分数阶微分算子的非局部性,使得离散后的代数方程组往往是稠密的,这大大增加了数
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分数阶微分算子具有典型的非局部特性,当前被广泛应用于科学和工程计算的各个领域.但也正因为分数阶微分算子的非局部性,使得离散后的代数方程组往往是稠密的,这大大增加了数值求解的难度和复杂度.同时,有些分数阶微分方程的解还存在边界层现象和弱正则性,即使它的扩散系数和右端项都是光滑的.本论文主要研究的是解带边界层的分数阶微分方程的预处理方法.我们讨论了一类带Dirichlet边界条件的非齐次变系数分数阶微分方程.由于存在边界层现象,需要采用局部加密的网格剖分方法.但此时离散后的代数方程组不再具有整体Toeplitz结构,这给设计高效的预处理方法带来了一定的困难.我们通过对系数矩阵的细致分析和研究,提出了基于循环矩阵的块对角预处理子和块下三角预处理子,并在理论上证明了这两类预处理方法的有效性.数值实验也表明,这两种预处理方法都具有很好的数值表现.我们也考虑了网格局部细化的方法.为了尽可能地减少运算量,我们提出了一种网格局部细化方法,使得数值解在达到同等精度时所需的网格加密次数尽可能地少.同时,我们还提出了一种均衡局部细化的网格剖分方法,使得在不改变均匀网格的前提下得到更高精度的数值解.我们对这两种网格加密方法都进行了数值测试.
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