【摘 要】
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设(M,g)为黎曼流形,TM为其切丛。对于TM上的任意一点(p,v)及X,Y∈TpM,则TM上的Cheeger-Gromoll度量为:其中α=1+9(v,v),Xh,Yh和Xv,Yh分别为X,Y的水平提升和竖直提升。 本文用活动标架
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设(M,g)为黎曼流形,TM为其切丛。对于TM上的任意一点(p,v)及X,Y∈TpM,则TM上的Cheeger-Gromoll度量为:其中α=1+9(v,v),Xh,Yh和Xv,Yh分别为X,Y的水平提升和竖直提升。
本文用活动标架法给出了(TM,-g)的数量曲率,并在此基础上对(TM,-g)的数量曲率进行了讨论,给出了当M为常截面曲率空间时,(TM,-g)的数量曲率与底空间的截面曲率之间的关系。本文主要得到了以下结论:
定理3.2.3 设(M,g)为n维黎曼流形,S为M的数量曲率,(TM,-g)为其切丛,其中-g为Cheeger-GromoU度量,则(TM,-g)的数量曲率为注用Rcmij和Rcpij简记Rcmijoπ和Rcpijoπ其中Rcmij和Rcpij为(M,g)的黎曼曲率张量。vm,Vp为(p,V)∈π-1(U)的局部坐标。
定理3.3.2 设(M,g)为具有常截面曲率k的n维黎曼流形,(TM,-g)为其切丛,其中-g为Cheeger-Gromoll度量,则当n>1时有:(I)(TM,-g)具有正的数量曲率当且仅当(II)(TM,-g)具有负的数量曲率当且仅当最后,本文指出了[20]中的不足,并加以修正。
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