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该文从Chebyshev多项式逼近理论和Fourier级数展开出发,系统地阐述了Chebyshev谱近似的基本思想;详细阐述了加权残量法的基本原理及谱方法求解偏微分方程的具体过程;利用Galerkin变分原理,得到椭圆型偏微分方程的逼近解;利用有限元的思想并结合谱方法的高精度,得到了求解偏微分方程的谱元方法,首先将求解区域划分成若干单元,在单元内通过谱近似得到单元刚度矩阵,最后利用有限元的思想形成总体刚度矩阵,并得到问题的近似解.对于复杂求解区域,采用有限元方法中曲边四边形等参元素的概念,结合谱元方法,提出等参谱元方法,通过构造曲边四边形的等参谱元,来逼近曲线边界,求解复杂边界偏微分方程.推导了时间分裂法求解Navier-Stokes方程的具体计算过程,并对一般的时间分裂法进行了改进,即对非线性步分别用3阶Adams-Bashforth方法和4阶显示Runge-Kutta法,粘性步采用3阶隐式Adams-Moulton形式,同时还改进了压力边界条件,采用3阶的压力边界条件,通过高阶时间分裂法和高阶压力边界条件,可以提高了时间方向的离散精度,从而用较长的时间步长计算,减少了达到收敛的时间,提高计算的效率.利用泛函分析和微积分的基本知识,运用Lax-Milagram定理等,从理论上比较详细地分析了谱方法和谱元方法在定常问题、非定常问题以及求解Navier-Stokes方程方面的稳定性和收敛性问题,得出了Navier-Stokes方程谱近似的稳定性条件和收敛性准则.为了验证等参谱元方法的正确性和该文程序代码的有效性,该文用等参谱元方法分别求解了有分析解的简单区域和复杂区域的Poisson方程和Helmholtz方程.计算表明提出的等参谱元方法的精度非常高,同时对曲边求解区域具有比较好的适应性.为了说明提出的等参谱元方法在计算流体力学及计算传热学中的应用,该文使用等参谱元方法对计算流体力学和计算传热学的两个典型算例进行了数值模拟,同心旋转圆筒间的流动和环形空间的自然对流,分别取得了同分析解和基准解很一致的计算结果,证明该文提出的等参谱元方法对计算流体流动和数值传热的有效性.