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本文主要利用非线性泛函分析中的变分法,结合临界点理论,特别是Morse理论,研究2n阶非线性微分方程组解的存在性、唯一性与多重性,其中F∈C1([0,1]×Rn,R1).
全文共分三章.
第一章简略介绍了问题(1.1.1)的研究背景、本文的研究方法及得到的主要结论.
第二章首先证明一些为研究问题(1.1.1)所必备的基本引理,同时也简单陈述了本文要用到的临界点理论与Morse理论的相关知识.
第三章证明了本文的主要结果.首先利用强单调映像原理证明问题(1.1.1)解的存在惟一性,并用山路引理证明(1.1.1)非零解的存在性.得到的结论为定理3.1.1如果存在常数。α∈[0,1/λ),对于任意u,v∈Rn和任意的x∈I,使得△u(F(x,u)-F(x,v))·(u-v)≤a|u-v|2,则问题(1.1.1)在C(n,I)中有唯一解.
定理3.1.2假设对任意的x∈I,有F(x,0)=0,而且下列条件满足:
(A1)存在μ∈(0,1/2)及R>0,对于任意的x∈I且|u|≥R,都有F(x,u)≤μ△uF(x,u)·u;
(A2)limsuP|u|→0F(x,u)/|u|2<1/(2λ1)及liminf|u|→∞F(x,u)/|u|2>1/(2λ1)关于xε1一致成立.
则问题(1.1.1)在C(n,1)中至少有一个非零解.
其次,利用临界群与Morse理论,结合拓扑度指数定理证明了问题(1.1.1)至少有两个非零解,并在非线性项为奇函数的条件下,证明问题了问题(1.1.1)存在无穷多个解.得到的结论为定理3.2.1对于任意的xEI,如果F(x,0);0且△uF(x,0)=0,并且下列条件满足:
(A3)limsuP|u|→∞F(x,u)/|u|2<1/(2λ1)对于xε1一致成立;
(A4)存在自然数k≥1使得liminf|u|→0F(x,u)/|u|2>(2λk)及limsuP|u|→0F(x,u)/|u|2<1/(2λk+1)对xε1一致成立.则问题(1.1.1)在c(n,I)中有至少有两个非零解.
定理3.2.2如果下列条件成立:
(A5)存在μ巨(0,1/2)及只>0,对于任意的xEl和》:之只,都有0
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