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在本文中我们首先引入了W-Smash余积的定义以及下面讨论中要用到的相关定义和定理，接着通过引入σ-余交换余代数的概念，得到了W-Smash余积余模范畴是Monoidal范畴的充分条件和W-Smash余积余模范畴是辫子Monoidal范畴的充要条件，也即下面的结果：
定理1设(H，σ)是辫化Hopf代数，CW()H为W-Smash余积.若C为σ-余交换余代数，且对任意的c∈C，h∈H，满足条件∑W1h()Wc=∑Wh()Wc，则(CW()HM，□lC，C，Φ′，l′，r′)是Monoidal范畴.定理2设(H，σ)是辫化Hopf代数，CW()H为W-Smash余积.若C为σ-余交换余代数，且对任意的c∈C，h∈H，满足条件∑W1h()Wc=∑Wh()Wc，则(CW()HM，□C，C，Φ′，l′，r′，ψ-1)是辫子Monoidal范畴，当且仅当∑σ-1(n(-1)，m0(-1))σ(W1，n(0)(-1))n(0)(0)()W(m-1)()m0(0)=∑σ-1(n(-1)，m0(-1))σ-1(n(0)(-1)，W1)n(0)(0)()W(m-1)()m0(0)成立.
其次，我们介绍了有关扭曲Smash积的定义和相关定理，证明了扭曲Smash积的Maschke定理和扭曲Smash积的对偶定理，即以下结果：
定理3设H是有限维的半单Hopf代数，A是一个H-双模代数且使得条件∑(a←s(h1))()h2=∑(a←s(h2))()h1成立，V是一个A★H-模.如果V作为A-模是完全可约的(投射的)，那么V作为A★H-模也是完全可约的(投射的).
定理4设H是域k上余交换的Hopf代数，有双射的对极s，U是H0的一个子Hopf代数也有双射的对极，A是一个U-局部有限的H-双模代数.那么(A★H)＃U2()A()(H＃U).