一个交互网络通常可以抽象成一个图,其中点代表开关元件或交换器,边代表通信链路。一方面,为了防止黑客入侵,人们在每个链路上设置一个密码。另一方面,为了便于管理,密码的总数要求在满足下面的条件下尽可能的少：任意两个交换器可以通过一系列密码不同的链路来交换信息。这个问题可以抽象成一个图,并且通过彩虹连通数来研究。彩虹连通数是由Chartrand等人在2008引入的。一个图G=(V,E)的k-边着色是一个映射c：E→S,其中S是一个由k种颜色组成的集合,也就是说,把G的边用k种颜色来着。通常k种颜色的集合我们取为{1,2,…,k}。图G是一个边着色图,其中相邻的边可以着同一种颜色,如果一条路上的任意两条边的颜色不同,那么这条路称为彩虹路。图G是一个k-边着色图。如果图G的任意两个顶点之间存在一条彩虹路,那么该着色称为k-彩虹边着色。如果一个图G有一个k-彩虹边着色,那么该图是k-彩虹边连通的。一个图G的彩虹连通数rc(G)是最小的整数k使得图G有一个k-彩虹边着色。对于整数n和k,让t(n,k)表示n个顶点k-彩虹连通图的最小边数。本论文共分七章。第一章,我们首先引入彩虹连通数的定义和研究背景。然后我们纵览一下本文的主要结果。由于直径是彩虹连通数的一个自然的下界,我们主要研究彩虹连通数与直径(半径)的关系。显然,对一个图来说,它的彩虹着色必然要求桥都着不同的颜色,这种情况比较平凡,在本论文中,我们主要考虑无桥图。一个图的直径和半径有下面关系：rad(G)≤diam(G)≤2rad(G)在第二章,我们研究彩虹连通数与半径的关系,证明对任意的无桥图G,rc(G)≤∑i=1rad(G) min{2i+1,η(G)}≤rad(G)η(G),其中η(G)是最小的整数使得图G的每条边包含在长度不超过η(G)圈中。在第二章我们研究了彩虹连通数与半径的关系。不像半径,研究彩虹连通数与直径的关系是比较困难的。不过好的方面是,几乎所有的图的直径都是2。在第三章和第四章,我们将研究小直径图的彩虹连通数,从而得到下面的结果：对直径为2的无桥图G, rc(G)≤5;对直径为3的无桥图G, rc(G)≤9。超立方体和递归循环图是两个过去几十年被很多学者研究过的网络。由于他们都是阿贝尔群上的凯莱图。第五章,我们利用阿贝尔群的交换性来研究阿贝尔群上的凯莱图的彩虹连通数,证明：对任意的阿贝尔群Γ和Γ的逆闭生成集S(?)Γ\{1},(i)rc(C(Γ,s))≤min{∑a∈S*(?)|S*/ΓΓ*ffl(?)1}。(ii)如果S是Γ的一个极逆闭小生成集,那么∑a∈S*(?)≤rc(C(Γ,S))≤src(C(Γ,S))≤∑a∈S*(?),其中S*(?)S是Γ的一个极小生成集。进一步,如果每个a∈S的阶数是偶数,那么rc(C(Γ,S))=src(C(Γ,S))=∑a∈S*(?).第六章,我们研究极小k-彩虹连通图,证明(i)对充分大的,n,t(n,2)≥nlog2n-4nlog2log2n-2n;(ii)对于3≤k<(?),n-k-3+(?)≤t(n,k),≤k(n-2)/k-1。第七章,基于本文的结果,我们讨论一些有趣的问题。