【摘 要】
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随着大数据来临,数据分析的难度越来越大,同调代数的方法被应用其中。同调代数理论的完善有助于为数据分析提供更多的方法与理论。同调维数是研究同调代数的重要工具,1969年,Auslander和Bridger首次在双边Noether环上提出了有限生成R-模M的Gorenstein维数的概念,为同调维数的研究提供了新方向。阿贝尔范畴比其他范畴更具有一般性,而三角矩阵环是一类重要的非交换环,本文将针对阿贝尔
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随着大数据来临,数据分析的难度越来越大,同调代数的方法被应用其中。同调代数理论的完善有助于为数据分析提供更多的方法与理论。同调维数是研究同调代数的重要工具,1969年,Auslander和Bridger首次在双边Noether环上提出了有限生成R-模M的Gorenstein维数的概念,为同调维数的研究提供了新方向。阿贝尔范畴比其他范畴更具有一般性,而三角矩阵环是一类重要的非交换环,本文将针对阿贝尔范畴中的对象和三角矩阵环上的模,研究它们所具有的Gorenstein同调性质。在以上的基础上,本文的结论主要分为以下两个部分:第一部分,主要是在阿贝尔范畴上利用对象类X的分解找到具有有限y分解维数的对象。A是一个阿贝尔范畴,对象类X是对象类Y的生成子和上生成子,若A中对象M的相对Y分解维数小于或等于n,那么M的左Y-分解中可以指定L个位置上的对象属于Y,其他位置的对象属于X。这一结论推广了利用投射模的分解找到具有有限Gorenstein维数的模的结论,而且得出了只要对象类X是对象类Y的生成子和上生成子,那么就可以构造类似的刻画。在此基础上,还可以利用对象类X的分解找到具有有限（X,Y）-Gorenstein投射维数的对象。接着,本文在阿贝尔范畴上引入了强n-GP（X,Y）对象的概念,证明了对象M的（X,Y）-Gorenstein投射维数小于或等于n当且仅当M是强n-GP（X,Y）对象的直和项。此结论是对刻画左R-模M的Gorenstein投射维数的推广。第二部分,主要是研究三角矩阵环上模的同调性质。首先给出了三角矩阵环T的整体Gorenstein维数与环A、B的整体Gorenstein维数之间的关系,接着证明了函子p保留强n-Gorenstein投射的性质,即若M1,M2是强n-Gorenstein投射模那么p（M1,0）、p（M1,M2）仍是强n-Gorenstein投射模,而函子h则保留强n-Gorenstein内射的性质。这些事实上是三角矩阵环上已有的投射模、Gorentsin投射模和强Gorentsin投射模的相关性质的推广。接着给出了左T-模M是强n-Gorenstein投射的必要条件:M1和M2/ImφM是强n-Gorenstein投射模,且若Kn是M的第n个合冲,则φKn是单射。同样地,对强n-Gorenstein内射、平坦模也有相应的性质。最后给出了对T-模M的强n-Gorenstein投射维数的等价刻画:SNGpd（M）≤n,当且仅当 SNGpd（M1）≤n,SNGpd（M2/ImφM）≤n,且若Kn是M的第n个合冲,则Kn是强n-Gorenstein投射模。
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