该文由两部分组成.第一部分是研究非标准增长散度型抛物方程的内部正则性问题.主要采用经典的迭代法(De Giorgi迭代或Moser迭代),将正则性问题从p(x)-增长条件下的椭圆型方程(或泛函)推广到p(x,t)-增长条件下的抛物型方程.该文第一章首先证明了(p,q)-增长条件下局部弱解的局部有界性.基于此,在第二章中运用DiBenedetto专著[40]中的方法,得出了p(x,t)-增长条件下局部弱解的局部Holder连续性的主要结论.第三章在更强的条件下证明了局部弱解的Lipschitz连续性.由此出发,可以继续考虑边界上的估计和整体估计、带低阶项的方程和第一边值问题的高阶正则性等有待解决的类似问题.第二部分(第四章)系统地研究了来源于许多现实数学物理模型(如薄片方程、Cahn-Hilliard方程等)中的广义薄片方程(参见[154,155]).该章研究是从方程弱解的定义出发,选取适当的试验函数,结合差分法和变分法,在奇异(12)三种情形下,都证明了弱解的存在性和唯一性.接着,应用广义薄片方程的能量型估计,进一步证明了三个正则性定理、比较原理和特殊情形下(右端项为零)弱解的稳定性定理.这些结论有助于更好地了解广义薄片方程的弱解.