σ-发展型方程囊括了经典波方程,热方程,Schrodinger方程,Klein-Gordon方程,Petrowsky型方程及Non-Kowaleskian型方程等。其在航空航天,材料化学,工业生产等方面具有广泛的应用背景,常用来描述一些异常动力系统模型,比如载荷在非晶半导体中的传输,多孔介质中的核磁共振现象,分形几何传输,对流卷数组的标量示踪剂扩散,粘弹性介质中的传输等。本文主要探讨变系数强/弱双曲σ-发展型方程Sobolev解的正则性性态,一类带结构性阻尼及粘弹性项的双曲σ-发展型方程解的高阶能量衰减估计及一类抛物型σ-发展方程的非平衡控制理论。第三章具体阐释正则性损失及初值正则性差异现象。我们主要考虑有限/无限阶退化型系数类弱双曲方程的Cauchy问题。利用一类重要的特殊函数理论—合流超几何函数理论,我们将此类方程的解明确表出并最终得到精确的正则性性态刻画。这部分讨论同时也表明了第五章中正则性估计的最优性。第四,第五章讨论系数在初始时刻t=O存在奇异性的强/弱双曲σ-发展型方程。主型σ-Laplace算子,退化部分及震荡部分对正则性性态的共同作用将是考虑的重点。我们应用微局部分析理论深入探讨了正则性损失的上界估计,同时给出精确划分正则性损失与否的临界点计算公式。最后,我们利用Floquet理论及不稳定性分析理论构造出了带周期系数的精细反例,从而得出ν-正则性损失的存在性,证明了此估计的最优性。第六章探讨带阻尼及粘弹性项的一类双曲σ-发展型方程。我们考虑了三种阻尼现象,即常数型结构性耗散,递减系数型结构性耗散及递增系数型结构性耗散。这三种阻尼现象分别对应电磁场中的理想导体,半导体及超导体的分布电阻性质。本部分我们利用微局部分析理论详细讨论了主型σ-Laplace算子,阻尼类型及初值正则性性态对于高阶能量衰减的共同作用。特别的,我们观察到了初值正则性性态与高阶能量衰减之间的一种补偿现象。第七章主要研究带边光滑流形上具有紧预解算子的自反正定算子所构成的一类抛物型σ-发展方程的非平衡控制理论,即最终控制状态无法达到0平衡态的特殊精确控制问题。我们采用带边光滑流形上拟微分算子的语言,将精确控制问题转化为相应的对偶问题,进而将对偶问题转化为Moment问题,最终解决了此类抽象算子的非平衡控制问题。本文中σ-Laplace算子均在RN上考虑。实际上,本文结论可以成功推广到光滑无边紧致流形上的Laplace-Beltrami算子,特别是环面TN上。譬如,双曲σ-发展型算子对于一般σ≠1有无限传播速度,因此本文许多反例是在环面TN上构造的。