本文分为四部分．在第一部分中，我们首先推广了 Shiozawa Y.和Takeda，M.的Dirichlet型变分公式，然后利用变分公式得到一般右连左极马氏过程第一特征值的下界估计，即Barta公式；思路就是将原有变分公式中的试验函数由有界推广到无界，由于马氏过程特征函数不一定有界，因此得到的Barta公式更精确，也更加合理．受第一部分的启发，我们在第二部分中得到了Dirichlet型的两类非线性变分公式，并运用该变分公式得到相应的泛函不等式常数估计．在第三部分中我们发现了一类SchrSdinger半群保持一类几何不等式的充分必要条件，由此得到了Schr dinger半群保对数凹的充分必要条件，推广了一般扩散半群保对数凹的条件．在第四部分中我们研究了跳过程轨道分布的随机可比性，证明了跳过程半群的随机可比性等价于其轨道分布的随机可比．