It（?）随机系统由于在人口统计、生物环境、经济金融、工程设计等科学领域中的广泛应用使其成为热门的研究课题之一.这类系统把高斯白噪声当作唯一干扰源,来刻画一类连续的比较平稳的随机现象.但在现实世界中,系统可能还会受到一些突变因素的干扰.比如,全球金融风暴引发的股市大幅振荡;由于全球气候的变暖、海啸、地震等因素的影响导致某一生物种群的灭绝.这些变化干扰对系统本身来说也是随机的,具有突变性且不可预测的.这就意味着单靠平稳的高斯白噪声作为唯一干扰源来描述系统显得不能满足现实的需要.因此,人们引入了可以刻画这些突变现象的跳跃干扰来尽可能真实地描述现实世界.在这些跳跃系统中,有一类是马尔科夫跳跃系统,其特征是系统的动态演化由时间和事件共同驱动,离散事件为系统的模态,各个模态之间的切换规律服从马尔科夫过程.还有一类是Poisson跳跃系统.其特点是通过引入时间连续、状态离散的泊松过程来达到描述某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃的目的.稳定性是系统控制理论的核心问题之一.随机干扰常常被认为是造成系统不稳定的因素之一.如何通过系统结构及其函数满足的条件来研究系统稳定性是一个重要的研究方向.随机系统的稳定性包括:矩指数稳定,几乎必然指数稳定,渐近稳定,依概率稳定,T稳定等.其研究内容和方法要比常微分系统丰富很多.另外,由于大部分随机系统的非线性性和耦合性,很难求出其解析解.所以通过离散化的数值方法来研究系统的稳定性是一种有效的途径,它是窥探系统内部结构和性态的一种手段.数值方法在经济、生物、神经网络等模型中已经得到了广泛的研究.因此,本文选择带马尔科夫跳和Poisson跳系统,以系统稳定性和数值方法的稳定性作为主要研究内容,具体工作如下:1.介绍了马尔科夫跳系统和Poisson跳系统的研究背景、研究意义,着重阐述了这两类系统和中立泛函型系统的研究进展和现状,简单介绍了与本文相关的理论知识.2.研究带马尔科夫跳的随机微分方程θ数值方法的几乎必然指数稳定性.在方程平凡解是几乎必然指数稳定的条件下,结合马尔科夫跳的遍历性等特点,运用不等式技术,数学期望,以及Chebyshev不等式和Borel-Cantelli引理,证明了θ方法产生的数值解是几乎必然稳定的,即θ方法能重现系统平凡解相应的稳定性.推广了Euler-Maruyama方法和Backward Euler-Maruyama方法保持系统稳定性的结论.3.研究非线性带Poisson跳的中立随机时滞微分方程平凡解的均方渐近稳定性,以及Backward Euler-Maruyama方法产生的数值解能否在相同条件下重现平凡解的稳定性.当漂移项满足单边Lipschitz条件,扩散项、跳跃项满足线性增长条件时,运用泛函比较原理和Barbalat引理证明了方程的平凡解和Backward Euler-Maruyama方法的数值解都是均方渐近稳定的.由于漂移项不一定要满足线性增长条件,因此,与Euler-Maruyama方法相比,显示出Backward Euler-Maruyama方法的优越性.4.采用另一种分析策略研究带Poisson跳的中立随机时滞微分方程平凡解和数值解更强的稳定性,即均方指数稳定性.它可推出均方渐近稳定性（反之不成立）.在单调性条件下,利用随机分析技巧,Poisson跳性质,证明了方程平凡解是均方指数稳定的,然后在漂移项满足线性增长条件下,证明了较为广泛的θ方法和分步θ方法可以保持平凡解的均方指数稳定性和几乎必然指数稳定性.5.对泛函型带Poisson跳的中立随机微分方程,研究其平凡解的几乎必然指数稳定性和均方指数稳定性.引入非负Borel可测函数η（θ）,利用其性质∫-τ0η（θ）dθ=1,在单边Lipschitz条件和线性增长条件下,运用非负半鞅收敛定理证明Euler-Maruyama方法和Backward Euler-Maruyama方法能重现平凡解相应的稳定性.6.研究变时滞带Poisson跳的中立随机微分方程Backward Euler-Maruyama方法的指数稳定性.利用取整函数、随机分析工具以及运用非负半鞅收敛定理证明Backward Euler-Maruyama方法产生的数值解是几乎必然指数稳定的,从而推出它是均方指数稳定的.最后对全文工作进行了总结,并指出了下一步的研究方向.本文关于马尔科夫跳系统和Poisson跳系统的稳定性和数值方法的研究,尤其是对Poisson跳系统各种不同模型的细致分析,将随机时滞系统和中立型时滞系统的稳定性结论推广到了Poisson跳中立型随机时滞系统,丰富了Poisson跳系统的稳定性理论和数值方法.