在解析数论中,关于黎曼ζ-函数和L-函数的均值估计是非常重要的问题,相关结论在数论中有非常重要的应用.本文,我们将研究自守L-函数的均值估计.　　 设κ是一个正偶数,f(z)是定义在全模群Γ=SL2(z)上权为к的全纯尖形式,假设f(z)是标准化了的全体Hecke算子的特征函数,则f(z)在其尖点∞处的傅立叶展式为　　 这样的f(z)被称为全纯的Hecke特征形.对于Hecke特征形f,存在L-函数　　 其中Res>1.我们称其为Hecke L-函数.　　 在本文的前两章,我们主要考虑L(f,s)的积分均值问题,即估计　　 其中κ是大于0的实数.对黎曼ζ-函数而言,很多作者(见[1],[3],[15]等)考虑了积分均值　　 并猜想Mκ(Т)满足渐近公式Mκ(Т)~Cκ(Т)(logТ)к2,其中Ск是正常数.但至今只有在к=1(Hardy和Littlewood,见[30])和к=2(Ingham,见[30])时被证明成立.不过当к为其他值时,很多人考虑了Mк(Т)的上界和下界,尤其是下界在很多情况下被证明满足猜想下界,即Mк(Т)》Т(logТ)к2.例如Heath-Brown在[8]中证明了当к为正有理数时,Mк(Т)》Т(logТ)к2;；当к=1/n>0,n为正整数时,Mк(Т)《Т(logТ)к2.　　 利用Heath-Brown的方法,A.Laurin(c)ikas和J.Steuding[17]研究了Mκ(f,Т)的上界和下界,证明了当κ=1/n时,　　 在广义黎曼猜想下,当n为偶数时　　 在第一章中,我们将进一步利用Heath-Brown的方法,并结合L(f,s)κ的Fourier系数的均值估计来改进[17]的结果.结论如下:　　 定理1.1.设κ∈Q,κ>0,则当Т→∞时,　　 假设关于L(s,f)的广义黎曼猜想成立,则上式对任意的实数κ>0成立,且对任意的实数0<κ<1,　　 可以看出当κ大时,要得到Mκ(Т)和Mκ(f,Т)的猜想上界是很困难的.最近,Soundararajan[29]用另一种方法研究了Mκ(Т)的上界,证明了在黎曼猜想下对任意的正实数κ和任意的∈>0,　　 虽然此上界比猜想上界差一点,但κ的范围能取到全体正实数.利用Soundararajan的方法,Ivi(c)[10]得到了一个小区间结果,在黎曼猜想下对任意的正实数κ,其中Н=Тθ,0<θ≤1.　　 在第二章,我们将利用[29]中的方法结合L(f,s)的相关结论来研究Mκ(f,Т)的上界,得到下面的结论.　　 定理2.1.假设L(f,s)的广义黎曼猜想成立,设λο是满足eλο=λο+λ2o/2的唯一解.则对任意的正实数κ>2e-λo/2,我们有　　 定理2.2.假设L(f,s)的广义黎曼猜想成立,设λο是满足eλο=λο+λ2o/2的唯一解.则对任意的正实数κ>2e-λo/2,我们有　　 其中　　 很多作者也考虑过离散均值问题,例如在[25],[26],[28]等文章中,作者考虑了几类L-函数的离散均值问题.近来,扭曲L-函数的均值问题也引起了很多的关注.在　　 [28]中Soundararajan和Young考虑了扭曲L-函数L(s,f()xd)的二次均值,给出了下界估计.在第三章中,我们将研究另一种扭曲L-函数的均值,即　　 其中L(s,f()x)是由尖形式f结合Dirichelt特征x所形成的自守形式对应的L-函数,定义如下:　　 我们将分别用Heath-Brown[9]及Rudnick和Soundararajan[25]的方法来估计Mκ(q,f)的上界和下界.在[9]和[25]中作者分别考虑了如下Dirichlet L-函数离散均值的下界和上界,　　 其中q是自然数,x是模q的Dirichlet特征.　　 利用[9]的方法,我们将得到Mκ(q,f)的上界,定理如下:　　 定理3.1.假设L(s,f()x)的广义黎曼猜想成立,则对任意的实数0<κ<1有　　 利用[25]的方法,我们将得到Mκ(q,f)的下界,定理如下:　　 定理3.2.假设L(s,f()x)的广义黎曼猜想成立,则对任意的自然数κ和所有充分大的正整数q都有