【摘 要】
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极大极小离差问题是指在一个给定的区域(如有限维单位球、有限维单位箱子等)寻求一个点使之与预先给定的有限个点的距离最大化的一个问题.该问题广泛应用于设施选址、空间管理、模式识别等众多领域.如果我们假定社区、学校等人群聚集区为一些给地理位置点,我们在某一个给定的大区域选取例如垃圾站、化工厂等具有污染的人类生活必要设施的问题就是这类设施选址领域的一个应用实例.一般来说,加权极大极小离差问题是非凸非凹的.
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极大极小离差问题是指在一个给定的区域(如有限维单位球、有限维单位箱子等)寻求一个点使之与预先给定的有限个点的距离最大化的一个问题.该问题广泛应用于设施选址、空间管理、模式识别等众多领域.如果我们假定社区、学校等人群聚集区为一些给地理位置点,我们在某一个给定的大区域选取例如垃圾站、化工厂等具有污染的人类生活必要设施的问题就是这类设施选址领域的一个应用实例.一般来说,加权极大极小离差问题是非凸非凹的.本文对一类已有的极大极小离差问题的半定规划松弛问题的解的存在性提供了一种新的证明方法;考虑了两类新的极大极小离差问题,证明了他们具有NP-难的性质,给出了两个新的半定规划松弛方法,对箱子约束下的极大极小离差问题设计了一种随机近似算法,并提供了一个简单的数值实例验证了该算法的有效性,具体地:1.对文献[S.Haines,J.Loeppky,P.Tseng以及X.F.Wang,2013,SIAM J.Optim]中针对箱子约束下的极大极小离差问题给出的半定规化问题,本文利用Gershgori n圆盘定理提供了一种新的证明方法,为SeDuMi能够有效求解求解这类半定规化松弛问题提供了理论依据.2.考虑了一类新的箱子约束下的极大极小离差问题,证明了该问题在通常情况下是NP-难的;为该问题提供了一种新的半定规化松弛方法,利用圆盘定理证明了这种半定规化问题满足强对偶定理,并给出了一种随机近似算法求解原问题的近似解.给出了箱子约束下的极大极小离差问题的一个数值算例,验证了给出了半定规划松弛方法和给出的随机近似算法求解原问题的近似解的有效性.3.考虑了一类新的球形约束下的极大极小离差问题,证明了该问题在通常情况下是NP-难的;为该问题提供了一种新的半定规化松弛方法,利用圆盘定理证明了这种半定规化松弛问题解的存在性及用SeDuMi求解的有效性.4.为部分回答Haines提出的开放问题,又提出了一个新的极大极小离差问题;为该问题提供了一种新的半定规化松弛方法,利用圆盘定理证明了这种半定规化松弛问题解的存在性及用SeDuMi求解的有效性.
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