本文考虑如下的一维Helmholtz方程(?),其中,k为波数,f为源函数,u为待求函数表示波场的压力。Helmholtz方程主要描述的是一类波传播现象,包括电磁波、声波、光辐射等,在工程实际和科学技术中有很重要应用.其数值求解是微分方程数值解法研究领域的热点问题之一.对于有界区域上的Helmholtz方程,高阶紧致方法大都采用的是紧致有限差分法.此方法缺点是在处理非一致网格时会降低格式的精度,并且不具有守恒性.因此,在本文第一章中我们采用紧致有限体积方法研究有界区域上Helmholtz方程相关的边值问题.第一章第二节中介绍了Helmholtz方程的由来及物理背景;第三、四节中分别提出了一维Helmholtz方程基于Dirichlet和周期边值问题的四阶紧致有限体积方法;第五节的两个数值实验表明给出的两种格式均是四阶格式,并且周期边值问题的格式对于大波数问题同样适用.对于无界区域上的Helmholtz方程,区域的无界性给此类问题的数值求解带来很大的困难.目前,完美匹配层(PML)是解决此困难的有效方法之一.引入完美匹配层使得波穿过内边界处不产生反射,在层中有阻尼,使得波进入吸收层后迅速衰减,并在达到吸收层外边界时衰减到零,以便在计算中可以使用简单的齐次边条件.从而,在有限计算区域上带人工边界条件的边值问题是原问题的很好地近似.基于这些考虑,本文第二章在无界区域上构造完美匹配层(PML),使大部分外行的波都能被吸收.第二章第二节中,我们采用复坐标延伸法,得到了Helmholtz方程的PML-Helmholtz方程.由此,无界区域上的Helmholtz方程就简化为有界计算区域上的边值问题.有限体积法和有限差分法是数值求解PML-Helmholtz方程边值问题的有效方法之一.本文在第二章第三节中对此问题提出了有限体积格式,得到了较好的数值结果,但精度不高.而有限差分方法往往产生严重的数值频散,高阶显式有限差分格式需要用较多的网格点,同时也不利于边界的处理.为此,我们分别采用紧致有限体积方法和紧致有限差分方法来处理PML-Helmholtz方程边值问题,使得两种格式在内部区域和人工边界上均能达到四阶精度.本文第二章第四节提出了紧致有限体积格式,第三章第二节给出了PML-Helmholtz方程边值问题的紧致有限差分格式,通过差分解的先验误差估计,证明了格式的稳定性.在这两章的最后,我们均进行了数值算例,证明了两种格式的有效性。