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2008年，WEI Jun-chao教授在文献[7]中，首次提出左极小Abel环的概念.左极小Abel环与许多重要环，如强左DS环，左quasi-duo环，MELT环，左MC2环等都有紧密关系.有关左极小Abel环和强左极小Abel环已经有了一些成果[6-7].在此基础上，本论文进一步讨论左极小Abel环的和强左极小Abel环等价命题及结构定理，构造左极小Abel环的一些例子，给出左极小Abel环的性质和强左极小Abel环的刻画. 本文首先介绍预备知识.对于任意环R，给出了左极小元、左极小幂等元、左半中心幂等元、左极小Abel环以及强左极小Abel环等概念.其次，构造性给出了左极小Abel环的具体实例，并讨论左极小Abel环的性质，得到相关结论.例如:环R为左极小Abel环当且仅当T2(R）为左极小Abel环，其中T2(R）=(RORR)表示R上的二阶上三角矩阵环;环R为左极小Abel环当且仅当W3(R）是为左极小Abel环.接着，借助于Jacobson根和极大左理想，我们证明了左极小Abel环的一些等价条件.如:环R为左极小Abel环当且仅当对任意左极小幂等元e，有eR(1-e)Re=0;环R为左极小Abel环当且仅当对任意e∈MEl(R)，任意f∈E(R），当ef=0时，有fe=0;环R为左极小Abel环当且仅当对任意e∈MEl(R），任意a∈R，任意M∈Maxl(R)，若1-ae∈M，则1-ea∈M;我们还讨论了左极小Abel环与环R中理想之间的关系，进而证明了，若IΔ R，I及R/I都是左极小Abel环，则R为左极小Abel环;最后，我们讨论了强左极小Abel环，得到了一些等价条件.环R为强左极小Abel环当且仅当R的每个左极小幂等元可唯一地写成一个square元及一个幂等元之和;环R为强左极小Abel环当且仅当任意e∈MEl(R)，总存在唯一的幂等元g，及N2(R)中的唯一的元x，满足e=g+x.