表示环作为monoidal范畴的不变量，在monoidal范畴的研究上日益发挥重要作用，目前已经受到人们的广泛关注.本文主要研究代数闭域上有限维Hopf代数的表示环的若干结构与性质，特别利用表示环上的双线性型研究表示环的Frobenius性质.作为该性质的应用，我们研究表示环的一类商环上的Frobenius代数与Frobenius余代数结构，从表示环角度给出双-Frobenius代数的构造.　　首先，我们在有限维Hopf代数的表示范畴上引入量子迹的概念，利用量子迹回答了Cibils曾经提出的一个问题:何时平凡模会出现在两个不可分解模的张量积分解式中？然后我们借助于几乎可裂序列给出量子迹为0的有限维不可分解模的一些等价描述，并揭示这些不可分解模在表示环中的地位与作用.　　其次，利用态射空间的维数，我们在有限维Hopf代数的表示环上定义了一个结合、非退化的Z-双线性型.在该双线性型框架下，我们研究表示环的一些性质与结构，包括表示环的Frobenius性质的研究，表示环的一些单边理想的研究，表示环的幂零根与幂等元的研究等.　　再次，我们研究有限维Hopf代数的稳定范畴的表示环——稳定表示环.我们证明稳定表示环与表示环模去所有投射模得到的商环同构.借助于该同构，表示环上的双线性型可以诱导到稳定表示环上去.一般而言，诱导的双线性型不再是非退化的，我们给出诱导双线性型非退化性的一些等价刻画，并在诱导双线性型非退化的条件下证明稳定表示环具有类群代数与双-Frobenius代数结构.　　另外，当Hopf代数为spherical Hopf代数时，我们研究表示环模去所有量子维数为0的对象得到的商环.我们证明该商环可以视为表示范畴的一类商范畴的表示环.当spherical Hopf代数为有限表示型代数时，该商环同样具有类群代数与双-Frobenius代数结构.　　最后，作为例子我们研究了一类Radford Hopf代数的表示环，我们给出了表示环、Grothendieck环以及稳定表示环的生成子与生成关系，并且完全描述了表示环的幂零根与幂等元.特别地，该Hopf代数的稳定表示环具有双-Frobenius代数结构，我们从多项式代数的角度给出了该双-Frobenius代数的具体描述.