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本文分为两大部分．
第一部分主要讨论了超布朗运动和非线性微分方程的解的关系问题．给出了R(d≥3)中规则集D上偏微分方程-1/2△υ(x)+γ(x)υ(x)<α>=0的最大、最小正解的概率表达式，其中D满足其补集D为紧集，γ(x)为D中正的有界可积函数，且1<α≤2．作为其应用，我们用偏微分方程的解刻画了紧集是S．极集的充分必要条件．
第二部分主要考虑了d>2α空间中的超α-稳定过程及分支α-稳定过程占位时的大偏差问题．我们的结果表明这两个过程占位时的尾概率都呈指数衰减，同时我们还刻画了它们各自的速率函数．我们的证明基于非线性偏微分方程的技术，首先得出了一些与△<,α>相联系的微分方程解的结果．这些结果不仅对证明我们的大偏差结果是必要的，它们本身也有着理论的意义．