编织框架性质的研究及推广

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Hilbert空间中的框架理论是小波分析中的一个新的研究方向。Hilbert空间中的任意向量可以用基表示,而框架是基的推广,从某种意义上来说是一种线性相关的冗余的基,正是因为这种性质,框架已广泛应用于信号传输、图像处理等多个领域。目前,除了传统框架以外,框架理论已经出现了若干个新的框架类型,如g-框架、融合框架、K-框架等。近几年,对编织框架性质和应用的研究成为了框架理论研究的一个新的方向。编织框架是选取有限个定义于相同的集合I传统框架,通过对集合I进行划分并将有限个传统框架通过划分的子集进行重组得到的。由于编织框架构造的特殊性,它也可以和其他类型的框架进行结合得到推广,如编织g-框架、编织融合框架、编织K-框架等。就我们所知,现在对编织框架的研究相对较少。本文主要研究与编织框架及其推广后相关的一些性质,论文的具体工作主要包括以下几个内容:1.研究了编织框架中的相关性质。框架理论研究的主要内容就是框架的算子以及框架的对偶。由编织框架的定义以及编织框架与传统框架之间的关系,给出了编织框架中的分析算子以及框架算子的表达式。接着,研究了编织框架中的对偶,给出了编织框架的对偶与框架对偶的编织之间的关系,并给出了两者等价的充分条件。此外,通过给编织框架增加一个扰动,给出了受到扰动后的框架依然可以构成编织框架的条件。2.研究了编织g-框架的相关性质。首先是得到了编织g-框架的若干性质,包括获取编织g-框架的方法。其次,弱编织性是编织框架的特殊性质,我们经过研究发现,编织g-框架中的弱编织是等价于编织的。最后,给出了编织g-框架中的一些等式和不等式,这些等式和不等式更具有一般性,这将有利于编织g-框架的构造及其在信号传输中的应用。
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