【摘 要】
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许多以人为规律和自然现象为背景的数学模型都可以用一个偏微分方程来描述,在求解偏微分方程数值解时,经常能够转化为求解某一类特殊矩阵作特殊乘积的谱分析的问题.Hadamard
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许多以人为规律和自然现象为背景的数学模型都可以用一个偏微分方程来描述,在求解偏微分方程数值解时,经常能够转化为求解某一类特殊矩阵作特殊乘积的谱分析的问题.Hadamard积和Fan积作为两类相对自然的矩阵乘法,在物理学和数学都扮演着非常重要的角色.本文研究两个非负矩阵的Hadamard积的谱半径的上界,两个M矩阵的Fan积的最小特征值的下界,以及M矩阵和逆M矩阵的Hadamard积的最小特征值的下界.首先,主要利用S型特征值包含集,M矩阵和非负矩阵的谱性质以及不等式放缩技巧,获得了两个非负矩阵的Hadamard积的谱半径的上界,两个M矩阵的Fan积的最小特征值的下界,并通过具体的例子来验证它们的精确性.在研究M矩阵和逆M矩阵的Hadamard积的最小特征值的下界时,首先利用引理把逆M矩阵的元素用其逆矩阵的元素限制,再利用S型特征值包含集给出下界的一个卵形区域,最后利用一系列不等式求出该区域的最小值,即为所求的下界.本文给出的两个关于M矩阵和其逆矩阵的Hadamard积的最小特征值的下界,其中一个是M矩阵和逆M矩阵的Hadamard积的最小特征值的下界的直接推论,是一种特殊情形;另一个也是先把τ(A(?)A-1)中的逆矩阵A-1的元素用原矩阵A的元素来限制,通过放缩矩阵不等式,再利用引理2.6得出初始下界,然后引入一个参数,用类似的方法对初始下界进行修正逼近,得到一个更加精确的下界.这两个下界均证明了比部分已有的结果更加精确.最后,设计一个随机生成4阶M矩阵的算法,以此生成足量的满足条件的M矩阵,进行大量的数值实验,包含两个新的下界与已有结果的比较以及两个下界之间的实验对比.大量的实验数据表明了这两个下界的精确性和有效性,且比较这两个新下界,得到的结论是这两个新下界互有优势.
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