线性模型是数理统计中的重要模型之一,是几类统计模型的总称,是现代统计学中内容丰富、应用广泛的一个研究分支。不带任何附加信息的线性模型的估计问题已经发展的相当成熟,但是在大量的统计问题中,往往能够获得一些先验信息,如何利用这些信息以及建立什么样的比较准则以避免最小二乘估计的不足显得尤为重要。另一方面,由于线性模型的随机误差的协方差阵是由一些不可控因素产生的,因此它的精确值通常是未知的。此时,为了获得参数的点估计,就必须知道协方差矩阵的先验知识或者一些假设,或者是它的一个估计。最小二乘估计的相对效率是衡量这种替代会给结果带来多大影响的重要工具。本文主要研究线性模型的极小极大估计问题和最小二乘估计的相对效率以及相关的矩阵不等式。主要内容包括：　　 ⑴线性模型的最小二乘估计在有偏估计类中的优点已经不再明显,有偏估计以牺牲偏度而能够在很大程度上降低方差的方式得到统计界的认可,并取得了极大的发展。极小极大准则以对潜在的估计量并不进行逐点比较,而只对风险函数的某一侧面进行比较,从中选出在这一侧面上最优的方式成为最常用和最有意义的准则之一。但在极小极大估计的求解过程中,由于不能对一个含有未知数的矩阵的最大特征值求矩阵微商,因此传统的极小极大估计也就没有明确的解析表达解。本文针对此问题进行了深入的研究,通过引入矩阵的条件数,把问题转化为一个只需要一些最基本假设条件的可求解的替代问题。在得到极小极大估计后,对它的性质进行了讨论。与最佳线性无偏估计相比,它有较小的极小极大风险。实际的数值算例和Monte Carlo模拟结果都与理论结果一致。此外,针对设计矩阵中的数据带有测量误差的问题,通过利用惩罚风险函数法得到了它的极小极大估计。与直接忽略测量误差相比,它有较小的偏度和极小极大风险。最后通过Monte Carlo模拟发现模拟结果与理论结果一致。　　 ⑵最小二乘估计的相对效率的研究已经持续了半个多世纪,但是它的定义标准基本上以矩阵的行列式和迹为主。这两种标准定义的相对效率以及它们的下界存在明显的缺点。例如,当回归参数的个数为奇数时,在某些情况下用矩阵行列式和迹定义的相对效率的下界无法识别两类模型。而用矩阵范数定义相对效率具有非常突出的优点,它避免了用矩阵行列式和迹定义的相对效率的下界无法识别两类模型的缺点。把著名的Kantorovich不等式推广到矩阵的欧氏范数形式,用该不等式界定了基于欧氏范数的最小二乘估计的相对效率的下界,并用具体的实例说明了它与实际情况更加吻合。进一步地研究了奇异线性模型,带有随机约束线性模型以及具有正交分块线性模型中最小二乘估计的相对效率问题。　　 ⑶对于生长曲线模型,研究了基于欧氏范数的最小二乘估计的相对效率问题,并对参数矩阵的最小二乘估计与极大似然估计进行了比较。由于随机误差是一个矩阵,残差平方和也是一个矩阵。最小二乘法是使残差平方和矩阵的迹最小；而极大似然法是使残差平方和矩阵的行列式最小,因此导出的估计量是不同的,最小二乘估计是线性的,而极大似然估计是非线性的。这使得极大似然估计的统计推断比最小二乘估计的统计推断要困难的多。为了使极大似然估计的统计推断简单些,考虑这两种估计的完全等价性和近似等价性。但在实际应用中,由于满足完全等价性条件的情况并不多,这里主要考虑它的近似等价性。因为这两种估计都是无偏的,所以本文建立了基于欧式范数的比较准则,即如果它们协方差矩阵的模长近似相等,就认为它们是近似等价的,从而简化了极大似然估计的统计推断。　　 ⑸确立了矩阵Wielandt不等式的欧氏范数形式,该不等式界定了基于欧氏范数的协方差改进估计的上界。