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本文致力于研究一些度量测度空间上的函数空间与算子有界性理论,其中度量测度空间包括欧式空间,Gauss测度空间,ax+b-群和齐型空间.除欧式空间外.这些底空间中球的测度不仅依赖于球的半径而且依赖于球的中心.特别指出,Gauss测度不满足倍测度条件,且ax+b一群上的右Haar测度在无穷远处具有指数增长,从而也不满足倍测度条件,因此经典的研究方法对这些底空间不完全适用.在Rn上,我们建立了次线性算子从Triebel-Lizorkin空间到拟Banach空间有界的判别准则；证明了具有非光滑核的多线性奇异积分算子的极大算子的加多线性权有界性.在Gauss测度空间背景下,我们引入了一类BLO型空间并给出其等价特征刻画,证明了与Ornstein-Uhlenbeck算子相关的一类奇异积分算子的极大算子从L∞(γ)到BLOa(γ)有界；并给出了G.Mauceri和S.Meda的BMO(γ)的交换子等价特征刻画；由于底空间缺乏倍测度条件,这些结果的证明需要新的想法.对底空间测度是指数增长的ax+b-群A,我们构造了S上的二进方体.因为S不是R.R.Coifman和G.Weiss意义下的齐型空间,构造其上的二进方体一直是人们关注的一个问题.由此,我们建立了与M.Vallarino所引入的H1和BMO相关的复插值结论,这些复插值结论对得到S上与Laplacian算子相关的波方程的解的端点估计将有用处.对核满足积分型尺寸条件及H(o)rmander条件的的线性算子T,给出了其极大算子有界性的等价刻画；此处证明的关键是需要建立与F.John,J.O.Str(o0mberg和B.Jawerth-A.Torchinsky意义下的局部sharp极大函数相关的Fefferman-Stein(弱)型不等式.作为应用,对与Laplacian△相关且满足Mihlin—H(o)rmander型条件的乘子算子,我们证明了其极大算子的有界性.在RD-空间上,我们引入了主极大函数,非切向极大函数,二进极大函数和grand极大函数的概念,并分别考虑了相关于这些极大函数的Hardy空间等价性理论,证明了仿交换子在乘积Hardy窄间上的有界性以及某些端点有界性；由于该背景缺少Fourier变换及伸缩,我们的证明依赖于基于一个新的Calderón再生公式及核函数的精细估计.此外,以Gauss测度空间为模型,我们引入局部倍测度空间的概念,构造了这样的底空间上恒等逼近,并得到了Lp(X)(p∈(1,∞))的Littlewood-Paley g-函数特征刻画；我们恒等逼近的构造是R.R.Coifman经典构造的一个十分精细的修改.
具体地,本文研究以下问题:
在Rn上,利用Y.Han,M.Paluszy(n)ski和G.Weiss关于Triebel-Lizorkin空间的原子分解理论,我们建立了次线性算子从Triebel-Lizorkin空间到拟Banach空间有界的判别准则:次线性算子T可唯一地延拓为从Triebel-Lizorkin空间到拟Banach空间的有界算子当且仅当T将连续的Fsp,q(Rn)原子映为B中的有界集.同样地,在RD-空间背景下,利用原子Hardy空间的grand极大函数特征刻画,我们亦建立了次线性算子从RD-空间上的Hardy空间到拟Banach空间有界的判别准则.
在Rn上,对X.T.Duong,L.Grafakos和L.X.Yan意义下的具有非光滑核的多线性奇异积分算子,我们得到了其极大算子的权有界性.这类算子是R.R.Coifman和Y.Meyer所引入的多线性Calderón—Zygmund算子的推广且包括A.P.Calderón高阶交换子；此处所考虑的权是A.Lerner,S.Ombrosi,C.Pérez,R.H.Torres和R.Trujillo-González所引入的多线性权.证明的关键是引入一类新的多次线性极大算子,该算子将在一个新Cotlar型不等式中扮演Hardy-Littlewood极大函数的角色.作为应用,我们得到m-阶Calderón交换子及其极大算子的新的加权估计.
在Gauss测度空间的背景下,我们引入了的一类BLO型空间,证明了非中心(自然)局部Hardy-Littlewood极大算子从G.Mauceri和S.Meda所引入的BMO(γ)空间到BLOα(γ)有界,且给出了BLOα(γ)空间的等价特征刻画.对Gauss测度空间上的一类奇异积分算子,其包括与Ornstein—Uhlenbeck算子相关的虚数次幂算子及任意阶Riesz算子,证明了其极大算子从L∞(γ)到BLOa(γ)的有界性.我们引入了局部分数次积分算子和局部分数次极大算子的交换子的概念,并进一步给出了G.Mauceri和S.Meda的BMO(γ)的交换子等价特征刻画,同时也获得了这些局部分数次积分算子和局部分数次极大算子的有界性.
对底空间是指数增长的ax+b-群S(即仿射群Rn()R+赋予左不变黎曼度量和右不变Haar测度p),我们构造了S上的二进方体,它具有类似于欧式空间上的二进方体的性质.据我们所知,这是二进方体结构首次出现在具指数增长的测度空间上.利用S上该二进方体结构以及W.Hebisch-T.Steger的Calderón-Zygmund理论,我们得到Fefferman-Stein型不等式以及与M.Vallarino所引入的H1和BMO相关的复插值结论,这些复插值结论对得到S上与Laplacian算子相关的波方程的解的端点估计将有用处.特别地,通过证明与F.John,J.O.Str(o)mberg和B.Jawerth-A.Torchinsky意义下的局部sharp极大函数相关的Fefferman-Stein型不等式,对核满足积分型尺寸条件及H(o)rmander条件的的线性算子T,我们得到其极大算子有界性的等价刻画.作为应用,我们证明了与Laplacian△相关且满足Mihlin—H(o)rmander型条件的乘子算子,其极大算子从Lc∞到BMO有界,从L1到L1,∞有界,且在Lp上有界,p∈(1,∞).
所谓的RD-空间即R.R.Coifman和G.Weiss意义下的齐型空间且测度满足逆双倍条件.在RD-空间上,我们引入了主极大函数,非切向极大函数,二进极大函数和grand极大函数以及分别相关于这些极大函数的Hardy空间:Hp0(X),Hpa(X)(α∈(0,∞)),Hpd(X),和H*,p(X).利用新的非齐次的离散的Calderón再生公式,证明了这些空间在p≥1时均等价于Lp(X).当p充分接近于1时,得到了H*,p(X)的原子分解,以及上述所有Hardy空间彼此等价,且等价于由Lusin-面积函数所定义的Hardy空间,也等价于R.R.Coifman—G.Weiss所引入的原子Hardy空间.利用RD-空间上(非)齐次离散型的Calderón再生公式,我们证明了仿交换子从乘积Hardy空间Hp(X)×Hq(X)到Hardy空间HT(X)有界,其中p,q,r∈(n／(n+1),∞)满足1／p+1／q=1／r；以及某些端点有界性.
此外,以Gauss测度空间为模型,我们引入局部倍测度空间的概念,即测度空间X上赋予度量d和正则Borel测度μ并要求其在由某可允许函数ρ所定义的一类球上满足双倍和逆双倍条件。在这样的底空间上,我们构造了恒等逼近,证明了局部的向量值奇异积分算子理论,并进一步得到了Lp(X)(p∈(1,∞))的Littlewood—Paley g-函数特征刻画.该理论框架适用于Gauss测度空间(可允许函数与Ornstein—Uhlenbeck算子相关),欧式空间和多项式增长的幂零李群(可允许函数与Schr(o)dinger算子相关)等背景空间.