斑图是在空间或时间上具有某些规律性的非均匀宏观结构,可以用反应扩散系统描述。在反应扩散系统中,稳定状态会在某些条件下失稳,并自发产生空间定态图纹,即图灵斑图。图灵斑图的产生对应的是一个非线性反应动力学过程与扩散过程的耦合。图灵不稳定性引起了许多领域科学家的关注。本文从整数阶和分数阶反应扩散方程两方面出发,探究了图灵斑图中的反应扩散系统,并进行了数值模拟。整数阶理论的推导可得到Gierer-Meinhardt模型的斑图形成机理,可解释在非线性常微分方程系统中,稳定常数平衡态加入扩散项后发生失稳,从而产生图灵斑图的过程,结合Chebyshev谱方法和紧致隐积分因子方法进行空间和时间离散,具有精度高,稳定性好,存储量小的特点。分数阶方面,通过分数阶拉普拉斯算子的谱分解进行线性稳定性分析,详细阐述分数阶图灵斑图的数学机制和二维分数阶Gierer-Meinhardt模型的形成机理。数值方法采用傅里叶谱方法和四阶龙格库塔指数时间差分方法(ETD4RK法)。数值模拟表明,在一定条件下,系统可以通过控制分数阶阶数的变化来生成斑图,并验证理论结果。第一章介绍了图灵斑图的基本概念及图灵斑图中的反应扩散系统,并叙述了图灵斑图的研究意义与研究进展。第二章探究了Chebyshev谱方法,紧致隐积分因子方法,傅里叶谱方法和ETD4RK法的推导过程及特点。第三章论述了反应扩散模型在图灵斑图中的应用及数值模拟。首先将图灵斑图用无量纲化的反应扩散方程组描述,进而推导出了斑图形成的数学机理。空间离散采用Chebyshev谱方法,时间离散采用紧致隐积分因子方法,最后进行了数值实验。第四章在第三章的基础上,采用分数阶的拉普拉斯算子,这类反应扩散系统应用更加广泛,结合傅里叶谱方法和ETD4RK法将方程组离散化,数值实验分析了图形的变化规律和趋势,数值结果验证了理论结果。