本文的研究工作主要围绕一类带有可变毗域半径的线性非局部守恒律方程展开,我们在该模型中使用迎风式非局部导数,该非局部模型可以保持最大值原理等性质。而可变毗域半径的出现,使我们的模型可以用于解决局部模型和非局部模型的耦合问题。具体的研究内容分为以下几部分:首先,我们考虑一维标量线性非局部守恒律方程的基于积分的有限差分离散,且在模型中允许非局部相互作用的范围即毗域半径参数随空间发生变化。我们特别关注离散近似解在非局部情况和局部极限情况下的收敛性。我们首次给出了在任意核函数情况下的数值格式的收敛性证明,包括非局部意义和局部极限意义下的收敛性。特别是我们建立了数值格式的渐近兼容性质,为该数值格式的可靠性和鲁棒性提供了保证。我们还提供了相关的数值结果来展示可变毗域半径参数对于由此类非局部模型描述的波传播现象的影响。然后,我们考虑在带有空间各向异性非局部相互作用的线性非局部守恒律模型中,解的奇异性与不连续性如何传播。该模型中使用了随空间可变的毗域半径参数,即非局部作用的范围在不同的空间位置是不同的。通过各向异性局部化,可以帮助实现局部模型和非局部模型的无缝耦合。这里我们主要感兴趣的是各向异性的非局部毗域半径和局部非局部模型的过渡对于解的奇异性的传播带来的影响。首先我们解析地得到了非局部模型中,由模型的不同参数带来的解的奇异性传播的方程。我们还利用得到的方程来计算解的奇异性的发展,同时利用渐近兼容的数值格式进行数值模拟,来验证理论分析结果的准确性。我们通过对可能出现的几种情况的分析和对比,对不同场景下奇异性的传播情况给出了完整的结论。最后,我们考虑使用间断有限元方法对一维标量线性非局部守恒律方程进行数值离散。由于非局部模型经常需要用于处理带有奇异性或间断解的问题,用间断有限元方法对其进行数值模拟是一种自然的想法。我们给出了非局部守恒律模型的间断有限元格式,并证明了毗域半径为常数时的L2稳定性、在非局部意义下的最优误差估计,以及在局部极限意义下的次优误差估计,得到了间断有限元格式的渐近兼容性。这说明我们给出的间断有限元格式即使在毗域半径按照与网格尺寸成比例的速度趋近于零的情况下,得到的数值解依然是可靠的。并且我们给出了与理论分析结果一致的数值结果。关于带有可变毗域半径的非局部模型,我们给出了其间断有限元格式设计,并从数值上验证了非局部情况与局部极限情况下的收敛阶数。