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本篇论文主要研究了Zeilberger算法的一些最新进展，其中包括Zeilberger算法的q模拟形式(简称q-Zeilberger算法)的终止条件，运用q-Zeilberger算法证明无穷基本超几何恒等式，以及利用Zeilberger算法来证明双重和恒等式。在第一章中，我们介绍了Zeilberger算法的一些背景和论文中使用的一些记号和基本定义。
在第二章中，我们解决了一个公开问题：在什么情形下q-Zeilberger算法终止。当给定的q-双超几何项是关于q，qn，qk的有理函数时，Le给出了这种特殊情形下的解答。我们给出了这个问题在一般情形下的解答，对q-Zeilberger算法终止的q-双超几何项给出了一个刻画。首先，对给定的q-双超几何项T(n，k)，应用Abdramov-Petkov(s)ek提出的方法，我们给了一个算法q-decomp。该算法给出T(n，k)的一个加性分解：T(n，k)=(K-1)T1(n，k)+T2(n，k)。同时，我们证明了由算法q-decomp计算得到的q-双超几何项T2(n，k)具有很好的性质。紧接着，我们对q-双超几何项的结构进行了研究。由q-双超几何项的结构性质以及递归关系式中一些因子的整除性，得到结论：对于由上面q-decomp算法得到的T2(n，k)，q-Zeilberger终止当且仅当T2(n，k)是q-正则超几何项。由此得到本章的主要结果—对任意的q-双超几何项T(n，k)，q-Zeilberger算法是否终止的判别标准。最后，我们还给了一个算法，用于判断是否可以用q-Zeilberger算法找到给定q-双超几何项T(n，k)所满足的递归关系。
在第三章中，我们给出了一个证明无穷基本超几何恒等式的系统方法。设f(a，…，c)=∑ktk(a，…，c)是一个无穷基本超几何级数，其中k是求和下标。通过引进一个新参数n，也即将一些参数a，…，c替换成aqn，…，cqn，求和项tk(a，…，c)就变成了一个关于n和k的q-双超几何项，此时应用q-Zeilberger算法，就可以得到f(a，…，c)所满足的递归关系。当递归关系是一阶的或只有首末两项时，f(a，…，c)就等于极限limN→∞f(aqN,…，cqN)乘以一个无穷乘积，从而我们可以直接计算得到f(a，…，c)的值。当递归关系包含三项或三项以上时，我们证明了无穷基本超几何级数f(a，…，c)在一定的收敛条件下，由它所满足的递归关系和极限limN→∞f(aqN，…，cqN)所唯一确定。因此要证明一个恒等式，只需验证恒等式两边是否满足相同的递归关系和恒等式两边是否具有相同的极限值。这种方法可以证明由Gasper和Rahman所撰写的书中几乎所有的无穷基本超几何求和公式，以及许多经典变换公式。
在第四章中，我们提出了一个证明超几何的双重和恒等式的方法。首先研究了关于双超几何项的Gosper算法。设F(n，i，j)是一个超几何项，Gosper算法的目标是寻找有理函数R1(n，i，j)和R2(n，i，j)使得F=△i(R1F)+△j(R2F)。利用递归关系式中一些因子的整除性，在三个假定条件下，可以证明R1和R2的分母一定含有某些因子，而这些因子是由F(n，i，j)直接计算而得。然后通过类似的讨论，可以得到递归关系LF=△i(R1F)+△j(R2F)中有理函数R1(n，i，j)和R2(n，i，j)的分母的一个估计，其中L=a0(n)N0+a1(n)N1+…+ar(n)Nr是一个差分算子。把这些因子作为分母，通过猜测分子的次数和求解线性方程组，就可以得到R1和R2的分子。最后，我们给了算法EstDen和算法BiZeil，分别用于计算R1和R2的分母，和计算差分算子L和有理函数R1，R2。使用该方法可以证明Andrews-Paule恒等式，Carlitz恒等式，Apéry-Schmidt-Strehl恒等式，Graham-Knuth-Patashnik恒等式，以及Petkov(s)ek-Wilf-Zeilberger恒等式。